Методика применения 2-го метода Ляпунова для исследования устойчивости НС автоматического управления с нелинейностью удовлетворяющей условию сектора

Критерий Сильвестра.

Функцию Ляпунова можно представить в виде: V=x^TQx, где x= æ x1ö x^T=(x1…xn)

Q=æ qn q1nö

æ x1ö | | x=ê … ê è qn1 qnnø

è xnø

Такую функцию можно проверить на знакоопределённость с помощью кретерия Сильвестра. Квадратичная форма V=x^TQx, где Q симметричная матрица, является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы Q положительны.

Постановка задачи: Пусть дана линейная система описанная в форме Коши х^*=Ах, пусть V=x^TQx dV/dt=¶V/¶x1*dx1/dt+¶V/¶2*dx2/dt+¶V/¶xn*dxn/dt; dV/dt=(dx/dt)^TQx+x^TQ(dx/dt)=x^TA^TQx+x^TQAx

(dx/dt)^T =x^TA^T; dV/dt=x^T(A^TQ+QA)x<0

Если система с матрицей коэффициентов А асимптотически устойчива, матрица Q подобрана правильно, то матрица R, которая R= A^TQ+QA<0, т.е. будет отрицательно определённой.

Исходная система: é x1^*=-x1 А=æ -1 0 ö

ë x2^*=-2x2 è 0 -2 ø

V=x1²+x2² Þ Q=æ 1 0ö

è 0 1ø

V=x^TQx=(x1;x2)æ1 0öæx1ö=(x1x2)æx1ö=x1²+x2²

è0 1øèx2ø èx2ø

R=æ-1 0öæ1 0ö+æ1 0öæ-1 0ö=æ-2 0ö

è0 -2øè0 1ø è0 1øè0 -2ø è0 -4ø

ÞR- отрицательно определённая.

Для такого класса систем была предложена методика Лурье и Постникова. Ими предложено брать функцию Ляпунова в виде квадратичной формы плюс интеграл. Рассмотрим данную на примере курсового автопилота:

édx1/dt=-x1+f(x3)

êdx2/dt=-f(x3) (1)

ëdx3/dt=(g-1)*x1+g*x2-rf(x3)

Коэф. g и r >0, которые зависят от исходных параметров системы. Исследуем данную систему.1. случай g>1

V=((g-1)x1²)/2+gx2²/2+òf(x3)dx3

dV/dt=¶V/¶x1*dx1/dt+¶V/¶2*dx2/dt+¶V/¶x3*dx3/dt=((g-1)x1)dx1/dt+gx2dx2/dt + f(x3)dx3/dt=

В силу (1) запишем

=-(g-1)x1²+(g-1)x1f(x3)-gx2f(x3) +(g-1)x1f(x3)+ gx2f(x3)-rf(x3)²=-(g-1)[x1²-2x1f(x3)+f(x3)²]-f(x3)²[r-(g-1)]= -(g-1)(x1-f(x3))²-[r-(g-1)]*f²(x3)

r-(g-1)>0 r>(g-1), то система устойчива (достаточное условие). Данное условие является достаточным условием устойчивости самолёта с курсовым автопилотом при любых кривизне и наклоне характеристики двигателя.

Дата добавления: 2014-01-05