Процедура исследования НС на устойчивость по 2-му методу Ляпунова

Я теорема Ляпунова о неустойчивости.

Ая теорема об асимптотической устойчивости Ляпунова.

Если для системы ур-ний (1) существует знакоопределённая функция Ляпунова V(x), производная которой по времени dV/dt в силу ур-ния 1 является также знакоопределённой, но противоположного знака, то решение системы х=0 будет асимптотически устойчивой.

Если для системы 1 существует знакоопределённая функция V такая, что в некоторой области премыкающей к началу координат она будет иметь производную того же знака, то данная система неустойчива.

1. Выбор функции Ляпунова.

2. Вычисление производной функции Ляпунова в силу исходных ур-ний системы.

3. Вывод об устойчивости системы, об асимптотической устойчивости или неустойчивости.

Замечания по выбору функции Ляпунова.

При заданных в форме 1 ур-ний системы можно подобрать несколько вариантов функции Ляпунова, поскольку требуется только знакоопределённость её и знакопостоянство производных. Различные варианты функции V удовлетворяющие теореме могут дать соответственно различные варианты условий устойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них могут быть шире, другие уже, последние условия могут входить в 1-й как в частный случай. Поэтому данные теоремы Ляпунова обеспечивают достаточными условиями устойчивости, которые не всегда будут необходимы. Т.е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам.

Вывод: нет уверенности в том, что нельзя подобрать другой вариант функции Ляпунова, которая бы более полно охватывала область параметров.

Пусть дана следующая система: é dx1/dt=-x1 (1)

ë dx2/dt=-2x2 Т.к. система линейна, то рх1+х1=0 р2=-2 р+1=0 р1=-1 Подберем ф-ю Ляпунова V=x1²+x2²

dV/dt=2x1*dx1/dt+2x2*dx2/dt

dV/dt=-2x1²-4x2²<0 Þ асимптотически устойчива Для построения фазового портрета поделим (2) на (1) dx2/dx1=2x2/x1; dx2/2x2=dx1/x1

0.5*ln÷ x2÷=ln÷ x1÷+lnC; ln(Ö÷x2÷/÷x1÷)=lnC

Ö÷x2÷/÷x1÷=C Þ ÷x2÷=C²*÷x1÷²

Для т. М x1>0 x2>0 из (1) dx1/dt<0 dx2/dt<0

Данная система асимптотически устойчива, её фазовая траектория при t®¥ стремится к точке равновесного состояния, где Vmin=0. при этом значения функции V по мере движения изображающей точки по траектории непрерывно уменьшается.

Дата добавления: 2014-01-05