Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Аннулирующий многочлен вектора




Рассмотрим наименьшее (по включению) инвариантное подпространство, содержащее вектор x. Очевидно, что с вектором x в нем содержится и векторы , где k =1,2,…. Обозначим через k наибольшее число, при котором система векторов линейно независима. Очевидно, что линейная оболочка этих векторов образует наименьшее инвариантное подпространство, содержащее вектор x. Выразим . Это равенство запишем в виде , где - тождественное преобразование. Слева стоит линейное преобразование, по виду являющееся многочленом от линейного преобразования . Будем говорить, что многочлен p (t) аннулирует вектор x, если . Многочлен наименьшей степени, аннулирующий вектор x, называется минимальным аннулирующим многочленом вектора x.

Минимальный аннулирующий многочлен определен с точностью до числового множителя. Далее, для определенности будем считать коэффициент при старшей степени равным 1.

Свойство 10.1 Аннулирующий многочлен вектора делится без остатка на минимальный аннулирующий многочлен вектора.

Доказательство. Пусть f (t) –аннулирующий многочлен, а p (t) – минимальный аннулирующий многочлен. Разделим f (t) на p (t) с остатком f (t)= p (t) g (t)+ r (t). Тогда . Так как степень r (t) меньше степени p (t), и многочлен r (t) аннулирует вектор x, то единственная возможность r (t)=0.

Теорема 10.1 (Метод и академика Крылова). Пусть векторы линейно независимы и , тогда многочлен является минимальным аннулирующим многочленом вектора x.

Доказательство. Очевидно, что многочлен является аннулирующим для вектора x. Допустим, он не является минимальным аннулирующим многочленом. Следовательно, найдется аннулирующий многочлен меньшей степени , что . Последнее равенство не возможно в силу линейной независимости системы векторов .

Теорема 10.2 Минимальный аннулирующий многочлен вектора является делителем характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно независима и . Дополним систему векторов до базиса всего пространства и найдем матрицу линейного преобразования в этом базисе. Эта матрица имеет блочный вид , где - блок порядка k +1. По теореме Лапласа , а - минимальный аннулирующий многочлен вектора x.

Следствие 10.1. (теорема Гамильтона – Кэли) Линейное преобразование является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть - характеристический многочлен. Тогда для любого x имеем , и, следовательно, .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 437; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.