Гипербола и ее каноническое уравнение

Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями

Лекция 3

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2 а, меньшее, чем расстояние 2 с между фокусами.

Пусть - произвольная точка гиперболы, а и - ее фокусы. Отрезки и так же, как и их длины, называются фокальными радиусами гиперболы. Поэтому

(1)

Введем на плоскости прямоугольную систему координат, принимая середину отрезка за начало координат, а за ось Ох – прямую , ориентированную от точки к точке . В выбранной системе координат фокус имеет координаты , а фокус - координаты . Обозначая координаты точки М гиперболы через х и у, будим иметь

,

и соотношение принимает вид

Преобразуем это уравнение. Раскрываем модуль ,

.

Дважды возводим в квадрат, получим:

Однако, теперь . Обозначая разность через :

, (2)

имеем: ,

или (3)

Итак, координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (3):

Докажем обратное. Если координаты некоторой точки М (х, у) удовлетворяют уравнению (3), то

Для этого найдем расстояние и от этой точки до точек и :

и аналогично .

Из равенства

Следует, что

Если , то в силу соотношения будем иметь ,

а потому (4)

Если же , то

а потому (5)

Таким образом, если ; то , а если , то , в обоих случаях

.

Итак, мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяет уравнению

,

и обратно: если координаты точки удовлетворяют этому уравнению, то эта точка лежит на рассматриваемой гиперболе.

Следовательно, уравнение

является уравнением гиперболы: оно называется каноническим уравнением гиперболы.

Дата добавления: 2014-01-05