КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Основные операции над векторами
Так мы будем называть операции сложения векторов, взятия противоположного вектора, умножения вектора на скаляр и вычитания. Сначала определим операцию сложения двух направленных отрезков. Эта операция не всегда определена. Она определена тогда и только тогда, когда конец первого отрезка совпадает с началом второго. Определение 1. Суммою двух направленных отрезков (при выполнении вышеприведённого условия) называется направленный отрезок, начало которого совпадает с началом первого данного отрезка, а конец − с концом второго. Запишем это определение в виде формулы. Пусть даны два направленных отрезка: (A, B) и (C, D). Как сказано выше, их сумма существует в том и только том случае, когда B = C. Пусть это условие выполнено; тогда второй отрезок есть (B, D). Определение 1 можно теперь записать так: (A, B) + (B, D) = (A, D). Это правило сложения можно назвать правилом треугольника. Я его называю также правилом сокращения внутренних букв: всякий раз, когда у нас встречается выражение вида (A, B) + (B, D) (внутренние буквы совпадают), я могу заменить его на (A, D), т. е. внутренние буквы как бы сокращаются, остаются только внешние. Этим правилом можно пользоваться чисто формально, не обращаясь каждый раз к чертежу.
Теперь мы хотим определить сумму двух векторов. Вначале договоримся о некоторой терминологии. Если дан вектор a, т. е. множество эквивалентных между собой направленных отрезков, и (A, B) − один из них, то мы будем говорить, что (A, B) есть один из представителей вектора a. Далее, представитель всегда можно выбрать так, чтобы его начало совпадало с любой наперёд заданной точкой. (В такой ситуации мы будем говорить, что мы прикладываем данный вектор к этой точке.) Точнее говоря, мы имеем
Предложение 1. Пусть дан вектор a и точка A (на плоскости или в пространстве). Тогда существует, и притом единственная, такая точка B, что направленный отрезок (A, B) является представителем вектора a (другими словами, = a). Итак, пусть даны два произвольных вектора a и b (на плоскости или в пространстве). Возьмём произвольный представитель вектора a, например, (A, B). Приложим вектор b к точке B, т. е. найдём такой представитель (B, C) вектора b, что его начало совпадает с точкой B. Сложим теперь направленные отрезки (A, B) и (B, C), т. е. перейдём к отрезку (A, C), а от него к соответствующему вектору. Определение 2. Вектор, полученный в результате вышеописанной процедуры, называется суммою двух данных векторов a и b и обозначается a + b. Заметим, что в отличие от суммы двух направленных отрезков сумма двух векторов, как это видно из описанной процедуры, всегда существует. Возникает, однако, другой вопрос: однозначно ли определяется описанный выше вектор (сумма)? Если я возьму другой представитель первого вектора, то не получится ли у меня в конце другой вектор в качестве суммы? Оказывается, нет, получится другой направленный отрезок, но он будет соответствовать тому же самому вектору. В этом смысле наше определение 2 является, как говорят, корректным. Его корректность эквивалентна, очевидна, следующему утверждению. Предложение 2. Если (A, B) ~ (A ¢, B ¢), а (B, C) ~ (B ¢, C ¢), то соответствующие суммы направленных отрезков (A, C) и (A ¢, C ¢) также будут эквивалентны. Это предложение мы оставим без доказательства. Заметим, что для сложения векторов также справедливо правило сокращения внутренних букв, а именно: +=. Это непосредственное следствие определения и корректности суммы векторов, а также правила сокращения внутренних букв для направленных отрезков. Предложение 3. Для любого вектора a имеет место равенство a + 0 = a.
Доказательство. Пусть (A, B) − произвольный представитель вектора a, а в качестве представителя нулевого вектора возьмём (B, B). Тогда a + 0 = +== a, QED[3]. Рассмотрим теперь два свойства только что введённой операции сложения: 1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность); 2) a + b = b + a (коммутативность). Теорема 1. Сложение векторов ассоциативно и коммутативно. Доказательство. Пусть даны векторы a, b и c. Выберем по представителю для этих трёх векторов, причём для a возьмём произвольный представитель (A, B), вектор b прилóжим к точке B, т. е. возьмём его представитель вида (B, C), а вектор c − к точке C, т. е. в качестве его представителя возьмём направленный отрезок (C, D). Имеем: (a + b) + c = (+) += +=; a + (b + c) = + (+ ) =+=, т. е. мы доказали, что (a + b) + c = a + (b + c), QED. Упражнение. Коммутативность докажите самостоятельно. Теперь я хочу ввести ещё одну операцию − взятие противоположного вектора (или переход к противоположному вектору). Сделаем это сначала для направленных отрезков. Определение 1. Если (A, B) − данный направленный отрезок, то противоположным к нему направленным отрезком (обозначение: −(A, B)) назовём отрезок (B, A). Эта операция всегда возможна (в отличие от сложения). Довольно очевидно, что если два направленных отрезка эквивалентны, то противоположные к ним также будут эквивалентны. Это означает корректность следующего определения: Определение 2. Если a − произвольный вектор, то противоположным к нему (обозначение: − a) называется вектор, соответствующий направленному отрезку, противоположному какому-нибудь представителю вектора a. Другими словами, −= . Ясно, что a + (− a) = + (−) = += = = 0. Ясно также, что − 0 = 0 и что |− a | = | a |[4]. Введём теперь операцию умножения на скаляры, т. е. на действительные числа. Сначала сделаем это для направленных отрезков. Пусть (A, B) − направленный отрезок, λ − произвольный скаляр. Если A = B или λ = 0, то положим λ(A, B) = (A, A). В противном случае однозначно определена несущая прямая для (A, B). Если λ > 0, то отложим на несущей прямой от точки A в сторону точки B отрезок, равный по длине λ| AB |. Мы получим точку C. Теперь направленный отрезок (A, C) объявляем результатом умножения (A, B) на λ: λ(A, B) = (A, C). Если же λ < 0, то полагаем λ(A, B) = −(−λ)(A, B). Очевидно, что во всех случаях |λ(A, B)| = |λ|| AB |.
Теперь можно перейти к векторам. Пусть даны вектор a и скаляр λ. Выбираем произвольный представитель (A, B) данного вектора a и вектор, соответствующий направленному отрезку (A, C), построенному выше, объявляем результатом умножения λ на a. Достаточно очевидна корректность такого определения. Ясно также, что всегда |λ a | = |λ|| a |. Заметим также, что (−1) a = − a. и что −(− a) = a. Определение 3. Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают. Определение 4. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их несущие прямые коллинеарны[5]. Обозначение: a || b. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Ясно, что вектор λ a всегда коллинеарен вектору a. Предложение. Если a || b и b ≠ 0, то существует такое λ Î R, что a = λ b. Более того, это число (скаляр) λ определяется единственным образом. Доказательство. Рассмотрим вектор s = b. Вычислим его длину: | s | = | b | = ||| b | =| b | = | a |. Таким образом, векторы s и a имеют одинаковую длину и, очевидно, коллинеарны (они оба коллинеарны вектору b). Векторы s и b сонаправленны, т. к. коэффициент неотрицателен. Если a и b также сонаправленны, то в этом случае, очевидно, s = a. В противном случае (т. е. если a и b противоположно направлены) векторы − a и s, очевидно, сонаправленны, имеют одинаковую длину и коллинеарны. Значит, они равны, т. е. a = − s. Таким образом, в первом случае можно взять λ = , во втором случае можно положить λ = , QED. Единственность коэффициента λ докажем несколько позже. Определение 5. Пусть даны два произвольных вектора a и b. Их разностью a − b называется вектор x, удовлетворяющий соотношению (уравнению) x + b = a. (1) Теорема. Разность двух данных векторов всегда существует и единственна. Доказательство. Сначала докажем единственность. Пусть два вектора x 1 и x 2 удовлетворяют уравнению (1); тогда x 1 + b = x 2 + b; (x 1 + b) + (− b) = (x 2 + b) + (− b); x 1 + (b + (− b)) = x 2 + (b + (− b)); x 1 + 0 = x 2 + 0; x 1 = x 2.
Докажем теперь, что разность любых двух данных векторов a и b всегда существует. В самом деле, достаточно указать какое-либо решение уравнения (1) и проверить, что оно действительно является решением. Указываю: вектор x = a + (− b). Проверяем: x + b = (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a, QED.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 532; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |