Основные определения. Системы координат и базисы

Системы координат и базисы

Основные свойства операций над векторами

1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения);

2) a + b = b + a (коммутативность сложения);

3) a + 0 = 0 + a = a (существование нейтрального элемента по сложению);

4) a + (− a) = (− a) + a = 0 (существование противоположного элемента);

5) (λ + m) a = λ a + m a;

6) λ(a + b) = λ a + λ b;

7) (λm) a = λ(m a) (ассоциативность умножения на скаляр);

8) 1∙ a = a.

Свойства 5 и 6 в совокупности называются дистрибутивностью, свойство 8 спе­циального названия не имеет. Свойства 1, 3 и 4 были доказаны выше, 2 было предостав­лено читателю. Свойство 8 совершенно очевидно, доказательство свойств 5, 6 и 7 предос­тавляю читателю.

Хотя помимо приведённых восьми свойств, называемых основными, можно сфор­мулировать множество других (некоторые из них сейчас будут приведены и доказаны), однако эти 8 свойств играют ту важную роль, что в принципе любое другое свойство можно чисто логически вывести из этих основных свойств, не опираясь на геометрию.

Примеры. 1. 0∙ a = 0.

Доказательство. 0∙ a = (0 + 0)∙ a = 0∙ a + 0∙ a;

0∙ a + (−(0∙ a)) = (0∙ a + 0∙ a) + (−(0∙ a));

0 = 0∙ a + (0∙ a + (−(0∙ a)));

0 = 0∙ a + 0;

0 = 0∙ a, QED.

Вы, конечно, можете сказать, что гораздо проще доказать это утверждение, обра­тившись непосредственно к определению умножения вектора на скаляр. Это так, но я хо­тел на этом примере показать, как можно выводить разнообразные свойства чисто логиче­ски из восьми основных.

2. λ∙ 0 = 0.

Доказательство. λ∙ 0 = λ(0 + 0) = λ∙ 0 + λ∙ 0;

λ∙ 0 + (−(λ∙ 0)) = (λ∙ 0 + λ∙ 0) + (−(λ∙ 0));

0 = λ∙ 0 + (λ∙ 0 + (−(λ∙ 0)));

0 = λ∙ 0 + 0;

0 = λ∙ 0, QED.

3. λ(a − b) = λ a − λ b (дистрибутивность умножения относительно вычитания).

Доказательство. Достаточно доказать, что

λ(a − b) + λ b = λ a.

Но действительно,

λ(a − b) + λ b = λ((a − b) + b) = λ a.

4. (λ − m) a = λ a − m a (дистрибутивность).

Доказательство. Достаточно доказать, что

(λ − m) a + m a = λ a.

Но действительно,

(λ − m) a + m a = ((λ − m) + m) a = λ a.

5. Если λ a = 0, то λ = 0 или a = 0.

Доказательство. В самом деле, пусть λ a = 0. Если λ ≠ 0, то

a = 1∙ a = (λ⁻¹λ) a = λ⁻¹(λ a) = λ⁻¹∙ 0 = 0, QED.

А теперь мы в состоянии доказать единственность λ в формулировке предложения о двух параллельных векторах:

Предложение. Если a || b и b ≠ 0, то существует такое λ Î R, что a = λ b. Более того, это число (скаляр) λ определяется единственным образом.

Доказательство единственности. Пусть a = λ b и вместе с тем a = m b. Тогда

0 = λ b − m b = (λ − m) b,

откуда λ − m = 0 или b = 0. Но по условию предложения b ≠ 0, так что λ − m = 0, т. е. λ = m, QED.

Определение 1. Базисом в двумерном пространстве (т. е. на плоскости) называется любая пара неколлинеарных векторов.

Определение 2. Базисом в трёхмерном пространстве называется любая тройка не­компланарных векторов.

Определение 3. Стандартным базисом в двумерном пространстве (т. е. на плос­кости) называется пара (неколлинеарных) векторов e ₁, e ₂, из которых первый есть вектор единичной длины, коллинеарный оси абсцисс и сонаправленный с нею, а второй есть век­тор единичной длины, коллинеарный оси ординат и сонаправленный с нею. Обыкновенно будем представлять себе эти векторы приложенными к началу координат.

Определение 4. Стандартным базисом в трёхмерном пространстве называется тройка (некомпланарных) векторов e ₁, e ₂, e ₃, из которых первый есть вектор единичной длины, коллинеарный оси абсцисс и сонаправленный с нею, второй есть вектор единич­ной длины, коллинеарный оси ординат и сонаправленный с нею, а третий есть вектор еди­ничной длины, коллинеарный оси аппликат и сонаправленный с нею. Обыкновенно будем представлять себе эти векторы приложенными к началу координат.

Предложение 1. Пусть a, b − базис плоскости, т. е. пара неколлинеарных векторов. Тогда любой третий вектор c этой же плоскости может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации векторов a и b. Это означает, что найдутся такие числа λ и m, что имеет место равенство:

c = λ a + m b.

Более того, коэффициенты λ и m определяются единственным образом.

Доказательство. Приведём векторы a, b и c к общему началу S и пусть a = , b = =, c = . Проведём через точку C прямую, коллинеарную вектору b, до пересечения с линией вектора a в точке P. (Эта прямая не может быть коллинеарна вектору a, т. к. в про­тивном случае векторы a и b были бы коллинеарны.) Имеем:

c = = +.

Т. к. || a, а || b, то по предложению о двух коллинеарных векторах = λ a, а = = m b для некоторых чисел λ и m. Существование разложения доказано.

Для доказательства единственности предположим, что

λ₁ a + m₁ b = λ₂ a + m₂ b.

Тогда

λ₁ a − λ₂ a = m₂ b − m₁ b;

(λ₁ − λ₂) a = (m₂ − m₁) b.

Если λ₁ ≠ λ₂, то a =, и векторы a и b коллинеарны, что противоречит усло­вию. А если λ₁ = λ₂, то (m₂ − m₁) b = 0, а т. к. b ≠ 0 (векторы a и b неколлинеарны), то m₂ = m₁, QED.

Предложение 2. Пусть a, b, c − базис трёхмерного пространства, т. е. тройка не­компланарных векторов. Тогда любой четвёртый вектор d может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации векторов a, b и c. Это означает, что найдутся такие числа λ, m и n, что имеет место равенство:

d = λ a + m b + n c.

Более того, коэффициенты λ, m и n определяются единственным образом.

Доказательство. Приведём векторы a, b, c и d к общему началу S и пусть a = , b = , c = , d = . Обозначим через π плоскость, проведённую через векторы a и b. Эта плоскость определяется однозначно, ибо векторы a и b неколлинеарны (иначе тройка a, b, c была бы компланарной). Проведём через точку D прямую, коллинеарную вектору c, до пересечения с плоскостью π в точке P. (Эта прямая не может быть параллельна плоско­сти π или лежать в ней, т. к. в противном случае вектор c лежал бы в ней, и векторы a, b, c были бы компланарны.) Имеем:

d = = +.

Т. к. || c, то по предложению о двух коллинеарных векторах = n c для некоторого числа n. Что же касается вектора , то он лежит в плоскости π, и по предыдущему предло­жению может быть представлен в виде:

= λ a + m b.

Существование разложения доказано.

Для доказательства единственности предположим, что

λ₁ a + m₁ b + n₁ c = λ₂ a + m₂ b + n₂ c.

Тогда

n₁ c − n₂ c = λ₂ a − λ₁ a + m₂ b − m₁ b;

(n₁ − n₂) c = (λ₂ − λ₁) a + (m₂ − m₁) b.

Если n₁ ≠ n₂, то c =, и вектор c лежит в плоскости π, т. е. a, b, c компланарны, что противоречит условию. А если n₁ = n₂, то

λ₁ a + m₁ b = λ₂ a + m₂ b,

и по предыдущему предложению λ₁ = λ₂, m₂ = m₁, QED.

Определение 5. Координатами вектора a называются (однозначно определённые) коэффициенты в разложении его по стандартному базису. Первая координата называется абсциссою и обозначается absc. a. Вторая координата называется ординатою и обознача­ется ord. a. Третья координата называется аппликатою и обозначается appl. a.

Определение. Координатами точки M (абсциссой, ординатой и аппликатой) на­зываются соответствующие координаты вектора (где O − начало координат).

Таким образом, по определению

absc. M = absc. ;

ord. M = ord. ;

appl. M = appl. .

Если = {λ; m; n}, то M = (λ; m; n) (так обозначаем координаты точки M).

Дата добавления: 2014-01-05