Основные определения. Векторное произведение

Векторное произведение

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть даны два вектора: a = { a ₁; a ₂; a ₃} и b = { b ₁; b ₂; b ₃}. Мы сейчас выве­дем сле­дующую формулу для вычисления значения скалярного произведения (a, b):

(a, b) = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃.

Для плоского случая, когда a = { a ₁; a ₂} и b = { b ₁; b ₂}, эта формула приобретает более про­стой вид:

(a, b) = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂.

Докажем её для этого более простого (двумерного) случая (для трёхмерного случая дока­зательство аналогично). Вычисляем:

(a, b) = ({ a ₁; a ₂}, { b ₁; b ₂}) = (a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂, b ₁ e ₁ + b ₂ e ₂) =

= (a ₁ e ₁, b ₁ e ₁) + (a ₁ e ₁, b ₂ e ₂) + (a ₂ e ₂, b ₁ e ₁) + (a ₂ e ₂, b ₂ e ₂) =

= a ₁ b ₁(e ₁, e ₁) + a ₁ b ₂(e ₁, e ₂) + a ₂ b ₁(e ₂, e ₁) + a ₂ b ₂(e ₂, e ₂) =

= a ₁ b ₁∙1 + a ₁ b ₂∙0 + a ₂ b ₁∙0 + a ₂ b ₂∙1 = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂,

QED. (Я воспользовался билинейностью скалярного произведения.)

Определение 1. Система векторов трёхмерного пространства (конечная или беско­нечная) называется компланарною, если существует плоскость, которой они все парал­лельны.

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда, будучи приведёнными к об­щему началу, они располагаются в одной плоскости. Чаще всего это определение приме­няется к трём векторам. Заметим, что если векторы a, b и c не компланарны, то a и b не могут быть коллинеарными. (Иначе через общую несущую прямую векторов a и b, приве­дённых к общему началу, и вектор c можно провести плоскость.)

Определение 2 (правых и левых троек). Пусть даны три некомпланарных вектора a, b и c, приведённых к общему началу. Тогда a и b неколлинеарны, и однозначно опреде­ляется плоскость π, через них проходящая. Будем теперь вращать вектор a в плоскости π до совмещения его с вектором b таким образом, чтобы при своём вращении он замащивал[7] угол, меньший 180°. Если смотреть из конца вектора c на плоскость π, то выбранное нами вращение будет выглядеть как вращение или против часовой стрелки, или по часовой стрелке. В первом случае говорят, что векторы a, b и c образуют правую тройку, во вто­ром − левую.

Определение 3 (векторного произведения). Пусть даны векторы a и b, взятые именно в указанном порядке. Тогда их векторным произведением [ a, b ] называется вектор c, удовлетворяющий следующим условиям.

1°. Если a и b коллинеарны, то [ a, b ] = 0.

2°. Если a и b неколлинеарны, то

а) вектор c перпендикулярен a и b;

б) | c | = | a |∙| b |∙sin Ð(a, b);

в) векторы a, b и c образуют правую тройку.

Заметим, что векторное произведение определяется только в трёхмерном простран­стве. В этом случае для любых двух векторов оно всегда существует и единственно. Заме­тим также, что если, как это естественно считать, угол между векторами брать в пределах от 0 до 180°, то синус этого угла всегда будет неотрицательным (что обеспечивает кор­ректность пункта 2°б) определения).

Предложение 1 (критерий коллинеарности). Два вектора трёхмерного простран­ства коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 (нуле­вому вектору).

Доказательство. В самом деле, если a и b коллинеарны, то [ a, b ] = 0 по п. 1° опре­деления 3. Если же они неколлинеарны, то по п. 2°б) | c | = | a |∙| b |∙sin Ð(a, b), но синус угла между векторами не может равняться нулю, иначе угол будет равен 0 или 180°, что озна­чает коллинеарность. Также не могут равняться нулю длины двух данных векторов, иначе был бы равен нулю хотя бы один из данных векторов, а тогда опять была бы коллинеар­ность. Следовательно, формула 2°б) показывает, что в этом случае длина векторного про­изведения есть произведение трёх ненулевых чисел и, следовательно, не равна нулю, а значит, не равно нулю и само векторное произведение, QED.

Предложение 2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.

Доказательство. Пусть даны два вектора a и b в трёхмерном пространстве. Если они коллинеарны, то по п. 1° оба векторных произведения [ a, b ] и [ b, a ] равны 0. Если данные векторы неколлинеарны, то однозначно определяется плоскость π, которая через них проходит. Пункты 2°а) и 2°б) определения 3 показывают, что оба векторных произве­дения [ a, b ] и [ b, a ] перпендикулярны плоскости π и имеют одну и ту же длину | a |∙| b |∙sin Ð(a, b). Вместе с тем вращение вектора b в сторону вектора a будет противопо­ложным по сравнению с вращением вектора a в сторону вектора b. Так как это вращение должно выглядеть как вращение против часовой стрелки, если смотреть из конца вектор­ного произведения, то векторы [ a, b ] и [ b, a ] противоположно направлены, QED.

Дата добавления: 2014-01-05