Основные свойства векторного произведения

Основные свойства векторного произведения

1. [ b, a ] = −[ a, b ] (антикоммутативность).

2. [ a + b, c ] = [ a, c ] + [ b, c ].

3. [λ a, b ] = λ[ a, b ].

4. [ a, b + c ] = [ a, b ] + [ a, c ].

5. [ a, λ b ] = λ[ a, b ].

6. [[ a, b ], c ] + [[ b, c ], a ] + [[ c, a ], b ] = 0 (тождество Jacobi [8]).

Свойства 2−5 в совокупности называются свойством билинейности векторного произведения, свойства 2−3 − линейностью по первому аргументу, 4−5 − линейностью по второму аргументу. Эти свойства будут доказаны позже. Заметим, что из свойств 1 и 2 легко вывести свойство 4 и, наоборот, из 1 и 4 выводится 2. Аналогично из свойств 1 и 3 легко вывести свойство 5 и, наоборот, из 1 и 5 выводится 3. Свойство 1 было только что доказано. Тождество Jacobi оставим без доказательства.

Геометрический смысл векторного произведения. Длина векторного произведе­ния равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах, если их привести к общему началу.

Доказательство. Очевидно из 2°б), т. к. по этой формуле, как известно, как раз и вычисляется площадь параллелограмма.

Предложение 1 (критерий коллинеарности). Два вектора трёхмерного простран­ства коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 (нуле­вому вектору).

Доказательство. В самом деле, если a и b коллинеарны, то [ a, b ] = 0 по п. 1° опре­деления 3. Если же они неколлинеарны, то по п. 2°б) | c | = | a |∙| b |∙sin Ð(a, b), но синус угла между векторами не может равняться нулю, иначе угол будет равен 0 или 180°, что озна­чает коллинеарность. Также не могут равняться нулю длины двух данных векторов, иначе был бы равен нулю хотя бы один из данных векторов, а тогда опять была бы коллинеар­ность. Следовательно, формула 2°б) показывает, что в этом случае длина векторного про­изведения есть произведение трёх ненулевых чисел и, следовательно, не равна нулю, а значит, не равно нулю и само векторное произведение, QED.

Предложение 2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.

Доказательство. Пусть даны два вектора a и b в трёхмерном пространстве. Если они коллинеарны, то по п. 1° оба векторных произведения [ a, b ] и [ b, a ] равны 0. Если данные векторы неколлинеарны, то однозначно определяется плоскость π, которая через них проходит. Пункты 2°а) и 2°б) определения 3 показывают, что оба векторных произве­дения [ a, b ] и [ b, a ] перпендикулярны плоскости π и имеют одну и ту же длину | a |∙| b |∙sin Ð(a, b). Вместе с тем вращение вектора b в сторону вектора a будет противопо­ложным по сравнению с вращением вектора a в сторону вектора b. Так как это вращение должно выглядеть как вращение против часовой стрелки, если смотреть из конца вектор­ного произведения, то векторы [ a, b ] и [ b, a ] противоположно направлены, QED.

1. [ b, a ] = −[ a, b ] (антикоммутативность).

2. [ a + b, c ] = [ a, c ] + [ b, c ].

3. [λ a, b ] = λ[ a, b ].

4. [ a, b + c ] = [ a, b ] + [ a, c ].

5. [ a, λ b ] = λ[ a, b ].

6. [[ a, b ], c ] + [[ b, c ], a ] + [[ c, a ], b ] = 0 (тождество Jacobi [9]).

Свойства 2−5 в совокупности называются свойством билинейности векторного произведения, свойства 2−3 − линейностью по первому аргументу, 4−5 − линейностью по второму аргументу. Эти свойства будут доказаны позже. Заметим, что из свойств 1 и 2 легко вывести свойство 4 и, наоборот, из 1 и 4 выводится 2. Аналогично из свойств 1 и 3 легко вывести свойство 5 и, наоборот, из 1 и 5 выводится 3. Свойство 1 было только что доказано. Тождество Jacobi оставим без доказательства.

Геометрический смысл векторного произведения. Длина векторного произведе­ния равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах, если их привести к общему началу.

Доказательство. Очевидно из 2°б), т. к. по этой формуле, как известно, как раз и вычисляется площадь параллелограмма.

Дата добавления: 2014-01-05