Общие уравнения прямой

Прямая линия в пространстве

Прямую линию в трёхмерном пространстве невозможно задать одним линейным уравнением, т. к. это будет уравнение плоскости (за известными исключениями). Однако её можно задать нелинейным уравнением. Например, уравнение

x ² + z ² = 0

задаёт, очевидно, ось ординат. Мы, однако, занимаемся здесь пока исключительно линей­ными уравнениями. Горю помочь нетрудно, если рассмотреть вместо одного уравнения систему линейных уравнений.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Обозначим через n ₁ вектор { A ₁; B ₁; C ₁}, а через n ₂ вектор { A ₂; B ₂; C ₂}. Потребуем, чтобы векторное произведение [ n ₁, n ₂] ≠ 0. Тогда и векторы n ₁ и n ₂ не будут равны нулю (иначе [ n ₁, n ₂] = 0). Следовательно, каждое из двух уравнений (4) определяет плоскость, причём эти две плоскости в силу предложения 1 п. 2.1.2 некомпланарны, а значит, пересекаются по некоторой прямой линии.

Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (4) при соблюдении условия [ n ₁, n ₂] ≠ 0, представляет собой прямую линию, которую мы обозначим через l.

Выберем теперь произвольную точку M ₀ на этой прямой и через выбранную точку проведём плоскость π, данной прямой перпендикулярную. Будем теперь представлять себе, что векторы n ₁ и n ₂ приложены к точке M ₀. Тогда в силу того, что несущая прямая вектора n ₁ перпендикулярна первой плоскости из системы (4), а прямая l лежит в этой первой плоскости, вектор n ₁ перпендикулярен прямой l, а значит, лежит в плоскости π. Аналогично рассуждая, получаем, что и вектор n ₂ лежит в плоскости π. Рассмотрим те­перь вектор [ n ₁, n ₂]. Он перпендикулярен векторам n ₁ и n ₂; следовательно, он перпендику­лярен плоскости π (векторы n ₁ и n ₂ неколлинеарны); значит, этот вектор коллинеарен прямой l.

Определение 1. Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется направляю­щим вектором этой прямой.

Таким образом, мы доказали

Предложение. Система уравнений (4) при условии [ n ₁, n ₂] ≠ 0 определяет прямую линию, одним из направляющих векторов которой является вектор [ n ₁, n ₂].

Определение 2. Система уравнений вида (4) называется общими уравнениями пря­мой.

Дата добавления: 2014-01-05