Теорема 2.2

Любое частично упорядоченное множество изоморфно вкладывается в множество подмножеств с операцией включения.

Доказательство

Рассмотрим любое произвольное множество . Зададим на нём отношение частичного порядка , . Рассмотрим на множестве множество подмножеств . Элементы образуются следующим образом. Для каждого рассматривается такое подмножество элементов, , которые находятся с элементом в отношении : . В подмножестве рассмотрим элемент и образуем подмножество таких элементов , которые находятся в отношении с элементом : . В подмножестве возьмём элемент и создадим множество таких элементов , которые находятся в отношении с элементом : , и т.д. На множествах и зададим отображение , такое, что , , ,….Так как . Тогда , т.е. имеется согласование отображения с отношением и отношением включения .

2.25. Решётки.

Рассмотрим некоторое множество с отношением частичного порядка : , . В множестве рассмотрим подмножество . Если найдётся такой элемент , такой, что для любого справедливо (или ), то элемент называется мажорантой множества . Аналогично, если , что для справедливо , то элемент называется минорантой множества . Рассмотрим множество мажорант . Если в множестве имеется такой элемент , что для любого другого элемента справедливо , то такой элемент называют точной верхней гранью множества : . Точная верхняя грань обозначается как объединение: . Этот элемент называется единичным и обозначается «1». Аналогично, если , что для справедливо , то элемент называют ночной нижней гранью множества : .Точная нижняя грань обозначается как пересечение . В точной нижней и точной верхней гранях обозначения объединения и пересечения не имеют ничего общего с теоретико-множественными операциями объединения и пересечения. Если множество упорядочено отношением включения и для двух элементов и существует и , то это объединение и пересечение, как теоретико-множественные операции, можно рассматривать как точную верхнюю и точную нижнюю грани.

Если множество упорядочено отношением , то для элементов и , для которых в качестве пересечения рассматривается минимальный элемент , а в качестве объединения ─ максимальный элемент .

Дата добавления: 2014-01-05