Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное однородное уравнение 2-ого порядка

(1)

p, q — постоянные действительные числа

(2) характеристическое уравнение, его корни

,

При этом возможны следующие случаи:

1. и — действительные и притом не равные между собой числа (). Тогда общее решение имеет вид (3)

2. и — комплексные числа

, , где ,

Общее решение имеет вид (4)

3. и — действительные равные числа ().

Общее решение имеет вид (5)

Пример 9.1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение

; ,

Общее решение

Пример 9.2. Решить уравнение

Решение

; ,

10. Неоднородные линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение вида

(1)

Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.

№	Правая часть дифференциальных уравнений	Корни характеристического уравнения	Виды частного решения
		1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения.
2. Число 0 — корень характеристического уравнения кратного S.
		1. Число не является корнем характерного уравнения.
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.
		1. Число не является корнем характерного уравнения.
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.
		1. Число не является корнем характерного уравнения.
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S.

Пример 10.1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение

, ,

Общее решение однородных уравнений имеет вид:

Правая часть уравнения , т.к. не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (см. табл. Случай 2/1)

Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на , будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов , и :

Общее решение данного уравнения

Пример 10.2. Найти общее решение уравнения

Решение: характеристическое уравнение k²+ 10k + 25=0 имеет двукратный корень k₁ = k₂=-5, поэтому y= (C₁ +C₂ x) e^-5x.

Т. к. к=-5 является корнем характеристического уравнения кратности s=2, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл., случай 2(2)):

Подставляя выражения для y,y^!,y^”в исходное уравнение, получаем

2Ae^-5x =4e^-5x, A=2, y = 2x²e^-5x. Общее решение данного уравнения

Пример 10.3 Найти частное решение уравнения

Подставляя выражения для y,y^!,y^”в исходное уравнение, получаем:

(B-3A) cosx +(-3B-A) sinx = cosx –3 sinx,

Найдем С₁ и С₂, используя начальные условия:

Пример 10.4. Решить уравнение:

т. к. 0- простой корень характеристического уравнения, т.е.s=1, то частное решение ищем в виде:

Геометрические и физические задачи.

1. Чтобы решить геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через . Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию

2. В физических задачах надо прежде всего решить, какую из величин взять за независимое переменное, а какую – за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция y, когда независимое переменное x получит приращение , т.е. выразить разность через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на и перейдя к пределу при ®0,получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомуу функцию.

1. Найти кривые, сумма длин нормали и поднормали есть величина постоянная, равная а.

Решение: Длина поднормали равна |y y¢|, а длина нормали |y |. Т.о, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые, имеет вид:

Разрешая его относительно y¢, находим (учитывая оба возможных знака):

Условию задачи отвечают только С>0: из уравнения семейства кривых находим:

поэтому, чтобы выполнялось условие , нужно, чтобы |a² – y² |= a² – y ², т.е. y ² < a², отсюда и следует, что С >0.

2. В комнате, где температура 20 ⁰ С, некоторое тело остыло за 20мин. от 100 ⁰ С до 60 ⁰ С. Найти закон охлаждения тела, через сколько минут оно остынет до 30⁰ С? Повышением температуры в комнате пренебречь.

Решение: В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можем написать:

3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0,1), если известно, что в каждой точке нормаль к кривой отсекает на оси абсцисс отрезок, равный квадрату радиуса-вектора этой точки.

y

M (x,y)

1 A

0 B x

Пусть точка М(х, у) – произвольная точка искомой кривой, МВ- нормаль к кривой в т.М, а В – точка пересечения нормали с осью абсцисс. Уравнение нормали к кривой в т.М имеет вид:

Найдем абсциссу т.В. Полагая в уравнении нормали Квадрат радиуса- вектора т.М равен x² +y². По условию задачи

это уравнение Бернулли при a=-1. Подстановкой

Воспользовавшись начальным условием (кривая проходит черех точку А(0,1)), найдем значение произвольной постоянной С=1. Т.о., уравнение

является уравнением искомой кривой.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить уравнения:

8. За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?

(Закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в рассматриваемый момент).

9. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы касания.

Ответы:

8.»200 дней.

9.y=Cx².

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 2, М.: Наука, 1985.

2. Сборник задач по математике для вузов под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича, часть 2,М.: Наука, 1981.

3. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 2, 3,М.: Наука, 1970.

4. Г.Н Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.:Наука, 1976.

5. А.Ф.Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1973.

Дата добавления: 2014-01-05