Ламинарное течение в круглых трубах

При рассмотрении уравнений Навье-Стокса для движения вязкой жидкости было отмечено, что прямое интегрирование их в большинстве случаев связано с практически непреодолимыми на сегодняшний день математическими трудностями. Однако известны и исключения. К числу их относится установившееся течение в круглой трубе, происходящее под действием постоянного перепада давлений - течение Пуазейля. Мы воспользуемся иным способом решения этой задачи, позволяющим получить ясные физические представления о характеристиках течения.

Итак, рассмотрим установившееся ламинарное течение в горизонтальной трубе радиуса R, происходящее под действием постоянного перепада давления (см. рисунок).

Двумя сечениями, отстоящими на расстоянии l друг от друга, выделим отсек трубопровода, и в нем цилиндр радиуса r. Так как течение установившееся, то сумма проекций на ось трубы всех сил, действующих на выделенный жидкий цилиндр, должна быть равна нулю. Иначе говоря, силам давления, приводящим частицы жидкости в движение, противодействуют силы трения, действующие на боковой поверхности цилиндра.

Сила давления: .

Сила сопротивления (трения слоев жидкости): , где τ - касательное напряжение трения.

Таким образом: и

Откуда, в частности, следует, что касательные напряжения изменяются вдоль радиуса по линейному закону. В соответствии с формулой Ньютона для вязкости жидкости касательные напряжения определяются соотношением:

Знак «минус» в этом выражении объясняется тем, что касательные напряжения направлены противоположно течению.

Приравнивая правые части вышеуказанных формул, получаем:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Постоянная интегрирования находится из условия прилипания (слой жидкости, непосредственно прилегающий к стенке, не имеет скорости относительно стенки – «прилипает» к ней),

т.е. при и соответственно

Окончательно:

либо

Как следует из полученного соотношения, максимальная скорость движения частиц будет иметь место на оси трубы, т.е. при , а ее величина

Подставляя полученную зависимость в предыдущее выражение, получим

Таким образом, в поперечном сечении трубы скорости распределены по параболическому закону, т.е. эпюра скоростей представляет собой параболоид вращения.

Выражение для эпюры скоростей можно представить в виде

,

из чего следует, что безразмерная скорость (отношение скорости в любой точке сечения к скорости на оси потока) при ламинарном течении в трубе не зависит от расхода, рода жидкости, материала стенок трубы и при всех значениях в сходственных точках поперечного сечения она одинакова.

Определим расход, протекающий через трубопровод.

где - эпюра скоростей, а 2πrdr – площадь кольца, радиусом r и толщиной dr, в пределах которого скорость можно считать постоянной (величина dr – суть бесконечно малая).

Подставляя выражение для эпюры скоростей, получим:

Интегрируя по сечению трубы и имея в виду соотношение для скорости на оси трубы:

,

Полученное соотношение носит название формулы Хагена-Пуазейля, из него следует, в частности, что

Используя вышеприведенную формулу, можно получить уравнение для определения потерь давления при ламинарном режиме течения в круглой трубе:

Либо, заменив радиус трубы ее диаметром, получим:

Для потерь напора с учетом того, что , формула принимает вид:

Важнейший вывод, следующий из этого соотношения, можно сформулировать так: потери давления (напора) при ламинарном течении в круглых трубах линейно зависят от средней скорости.

Преобразуем полученное соотношение, а именно, умножим числитель и знаменатель на 2V, что дает:

Несколько забегая вперед, заметим, что полученное соотношение отражает закон сопротивления для ламинарного течения в круглой трубе: , где λ – коэффициент гидравлического сопротивления, определяемый формулой Дарси-Вейсбаха:

Дата добавления: 2014-01-05