Дискретное преобразование Лапласа

Лекция 5.

Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем.

Для дискретных, как и для аналоговых сигналов и линейных систем, помимо временной возможно представления в других областях независимых переменных. Наиболее распространены дискретное преобразование Лапласа, Z-преобразование, дискретное преобразование Фурье. Они возможны для любой последовательности, удовлетворяющей условию:

При переходе к дискретному времени t→nT и замена непрерывной функции последовательностью x(t)→x(nT) интеграл ((1) из лекции 4) заменяется суммой (6), представляющее собой ДПЛ.

Здесь D{} – оператор; x(nT) – оригинал – действительная или комплексная последовательность, x(e^pT) – Д-изображение. ДПЛ однозначно связывает x(nT) с x(e^pT) и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (7), определяется абсциссой абсолютной сходимости σ₀. На плоскости это область Re(p)=σ≥σ₀.

2. Z – преобразование.

При анализе дискретных сигналов и линейных систем чаще используется не ДПЛ, Z-преобразование, получаемое из ДПЛ путем замены переменных

Z=e^pT (8)

Т.о. Z – преобразованием последовательности x(nT) называется ряд

(9),

где x(nT) – оригинал; X(Z) –Z изображение; Z{} – оператор.

Z – преобразование однозначно связывает x(nT) и X(Z) и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда

(10)

Если (10) сходится, то и (9) сходится, но не всегда наоборот.

Преимущество Z- преобразования перед ДПЛ позволяет получать алгебраические соотношения, тогда как D{} приводит к трансцендентным (неудобным для анализа).

Дата добавления: 2014-01-05