Фильтры второго порядка

описываются КРУ вида:

y_k = b₀x_k - a₁y_k-1 - a₂y_k-2 (20)

которому соответствует ДПФ-ция:

W(z)=b₀/(1+a₁z^-1+a₂z^-2) (21)

Особенностью любой дискретной системы второго порядка (в том числе фильтра), является то, что система может быть не устойчивой в зависимости от значения коэффициентов a₁ и а₂, что определяет корни характеристического уравнения:

1+а₁z^-1+a₂z^-2=0

z²+a₁z+a₂=0

z_1,2=(-a₁±√a₁²-4a₂) /2 (22)

Корни (22) могут быть реальными и вещественными в зависимости от знака D=a₁²-4a₂:

Область устойчивости в плоскости параметров a₁ и а₂ представляет собой треугольник, разделённый параболой а₂=а₁²/4 на две части, соответственно real/complex.

	а2

Таким образом область устойчивости описывается уравнениями:

a₂>│a₁│-1

│a₁│<2; │a₂│<1 (23)

В случае вещественных корней z₁ z₂ ПФ-цию (21) можно представить как произведение двух ПФ-ций фильтров первого порядка:

W(z)=√b₀/(1-z₁z^-1) * √b₀/(1-z₂ z^-1)

Примеров Ф2П является синусный ФНЧ Баттерворта:

A²(w)=1/(1+[Sin(wT/2)/Sin(BT/2)]⁴) (24)

B- полоса пропускания, для ФНЧ - В=f₀

Характерные точки: A(0)=1; А(В)=√1/2=0,707

А

w

В

Синтез фильтра Баттерворта второго порядка по заданной АЧХ

Синтез фильтра в ЦОС подразумевает определение структуры, соответствующий ПФ, и определение коэффициентов а₁, а₂, b₀ ПФ (21) по заданной АЧХ (24)

Обозначим:

Sin (BT/2)=k (26)

Тогда, учитывая, что Sin²(α/2) = (1-Cosα)/2, выражение для квадрата АЧХ (24) примет вид:

А²(w)=4k⁴/(Cos2(wT)-2Cos(wT)+(1+4k⁴)) (27)

Составим (27) и ПФ (21), перейдя из jw- в z-плоскость.

Учитывая, что Cos(ωt) ~ (z+z^-1)/2; Cos²(ωt) ~ (z²+z^-2+2)/4, перепишем знаменатель (27) в виде (умножив его на 4):

Cos²(ωt)-2Cos(ωt)+(1+4k⁴) ~ (z+z^-2)-4(z+z^-1)+6+16k⁴ (28)

Обозначим

6+16k⁴=C (29)

Найдём квадрат модуля знаменателя ПФ(21):

│A(z)│²=A(z)A(z^-1)=(1+a₁z^-1+a₂z^-2)(1+ a₁z+a₂z²)=

(1+a₁²+a₂²)+(a₁a₂+a₁)(z+z^-1)+a₂(z²+z^-2) (30)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в (28) и (30), можно получить выражения для расчёта коэффициентов a_1, a₂:

a₁=qp (31); a₂=q² (32)

p=√(C+2-√(C+2)²-64)/2 (33); q=-(4/p)+√((4/p)²-4)/2 (34)

Таким образом, задав В можно последовательно найти k, C, p, q, a₁, a₂ по (26)-(34).

Для отыскания b₀ приравняем статический коэффициент передачи фильтра к единице.

В статике z=1.

W(1) = b₀/(a₂+a₁+1) = 1 (35)

b₀=1+a₁+a₂ (36)

Дата добавления: 2014-01-05