Сглаживание ВР полиномами

Сглаживания, прогнозирование и аппроксимация ВР.

Суть: подбор полинома порядка p, удовлетворительно описывающего участок ВР.

Let: t - текущий момент времени;

t±i – момент времени, сдвинутый на i;

y_t – значения ВР в момент времени t;

y^{^} - сглаженное значение ВР;

n – длина интервала, используемая для сглаживания;

p= (n-1)/2

Для сглаживания текущего значения ВР используются и значения ВР, находящиеся в интервале (t - (n-1)/2; t + (n-1)/2) (n-нечётное).

При решении задач сглаживания предполагается, что будущие значения ВР уже известны.

Пусть ВР удовлетворительно описывается полиномом порядка p=3.

y^{^}_t+i =a₀+a₁i+a₂i²+ a₃i³, (1)

где i принадлежит ±(n-1)/2

y^{^}_t+i - расчётное значение или сглаженное значение.

Будем называть первые и последние (n-1)/2 членов ВР крайними, а остальные – средними.

Сглаженное значение средних членов ВР найдём из выражения (1) при i=0, то есть:

y^{^}_t = a₀ (2)

Для идентификации коэффициентов полинома (1) используем МНК:

S_ост= ∑ (y_t+i - y^{^}_t+i)²→ min (3)

Подставив (1) → (3) и выполнив

(∂S_ост) / (∂a_i) = 0; i = 0…p (4)

получим систему нормальных уравнений

zB₁ p=3:

Учитывая, что

∑ i^k=0 для нечётной k (здесь 1, 3, 5)

и

∑ i⁰ = 7; ∑ i² = 28; ∑ i⁴ = 196; ∑ i⁶ = 1588

Получим:

7a₀+28a₂ = ∑ y_t+i

28a₁+196a₃ = ∑ i y_t+i (5)

28a₀+196a₂ = ∑ i² yt_+i

196a₁+1588a₃ = ∑ i³ yt_+i

При сглаживании средних членов нужно знать только a₀, который найдём совместно решив (5.1) и (5.3):

y^{^}_t = 1/21 [-2y_t-3 + 3y_t-2 + 6y_t-1 + 7y_t + 6y_t+1 + 3y_t+2 - 2y_t+3 ] (6)

Таким образом мы получим сглаженное значение ВР в момент времени t при n=7 в виде линейной комбинации семи значений ряда с точной y_t в качестве центральной, то есть, в виде суммы и значений ряда, взятых с весами γ_i:

y^{^}_t = ∑ γ_i y_t+i (7)

Для n = 7 (p = 3) веса равны: 1/21 [-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2]

Выражение (7) является взвешенным скользящим средним в момент времени t.

Значение γ_i для различных n и p табулированы.

Свойства СС:

1. ∑ γ_i = 1
2. Симметрия: γ_-i = γ_i
3. Поскольку при определении a₀ не использовалось (5.4) и (5.2), куда входит a₃, значение a₀ не зависит от того, присутствует ли в модели (5) член a₃i³. То есть, значения a₀ для полиномов порядка 2k и 2k+1 одинаковы.
4. При сглаживании средних членов достаточно определить только коэффициенты a₀, при сглаживании крайних – все остальные.
5. Значения весовых коэффициентов γ_i можно брать из справочника.

Дата добавления: 2014-01-05