Учетом двукратного спинового вырождения дается формулой

. (3.1)

Интересующая нас величина , определяющая число состояний

в единичном интервале вблизи заданной энергии, определяется

производной от G по энергии. Кроме того, определяют как

число состояний не в образце в целом, а в расчете на единицу

площади двумерного электронного газа. Поэтому окончательно

= (). (3.2)

При энергиях, больших , возможно существование электронов не только в первой, но и в вышележащих подзонах. Каждая подзона будет давать дополнительный вклад в , такой же, как (3.2). Поэтому плотность состояний будет испытывать скачки, равные , каждый раз, когда энергия электронов сравнивается с дном очередной подзоны . Это позволяет обобщить (3.2) на случай произвольной энергии Е:

, (3.3)

где — единичная функция Хевисайда, равная единице при

х > 0 и нулю при х < 0. На рис. 3.1, б приведен график этой ступенчатой функции.

Аналогично можно найти плотность состояний для квантовых нитей с энергетическим спектром

.

В интервале энергий

между низшим и следующим по энергии квантовым уровнем, меньшим, чем некоторое заданное , отвечает область импульсов

.

Соответствующий объем фазового пространства равен

, а элементарный объем на одно состояние составляет . С учетом спинового вырождения

. (3.4)

Отсюда на единицу длины нити

. (3.5)

Наконец, в случае квантовых точек, где энергетический спектр

носит чисто дискретный характер, увеличивается на единицу

каждый раз, когда Е сравнивается с каким-либо квантовым уров-

уровнем (если уровни энергии невырождены). При этом плотность состояний

. (3.6)

представляет собой совокупность бесконечно узких и высоких пиков, схематично показанных на рис. 3.1, г.

Рис. 3.1 представляет идеализированную картину. На самом де-

деле наличие рассеяния носителей приводит к уширению энергетических уровней. В результате ступеньки на рис. 3.1, б приобретут конечную ширину скачка ~, а бесконечные пики на рис. 3.1, в, г станут конечными по высоте и ширине с высотой, тем меньшей, чем ниже подвижность носителей.

Следует отметить, что плотность состояний в приведенных формулах имеет различную размерность.

Можно вычислить и плотность состояний для свехрешеток со

спектром. Не приводя здесь непосредственного вывода, дадим

лишь конечный результат. В областях энергий, соответствующих

запрещенным минизонам, = const, как в чисто двумерном

случае (3.3), а внутри разрешенных минизон плотность состояний

плавно меняется, имея бесконечную производную на краю мини-

зоны:

(, ;

, .

(3.7)

Как и в чисто двумерном случае C.3), здесь плотность состояний

дается в расчете на единицу площади. График зависимости (3.7)

представлен на рис. 3.1, д.

3.2. Статистика носителей в низкоразмерных структурах

Как известно, свойства равновесных электронов в полупроводниках определяются фермиевской функцией распределения и потому зависят от температуры Т и положения уровня химического потенциала ,. Однако в реальных экспериментах известной величиной, как правило, является не ,, а концентрация носителей. Поэтому одной из первых задач является нахождение связи между уровнем химического потенциала и концентрацией. Мы начнем с нахождения такой связи в двумерном электронном газе, полагая, что все носители находятся в нижней подзоне .

Концентрация носителей находится путем суммирования по

всем состояниям подзоны. Согласно (3.2), в интервале энергии dE

таких состояний , а вероятность заполнения каждого из

них дается функцией распределения Ферми.

Поэтому

, (3.8)

где двумерная эффективная плотность состояний

.

Рассмотрим вычисление интеграла (3.8). Выполним подстановку

.

Тогда имеем

Поэтому

Можно преобразовать (3.8), записав , как функцию концентрации

в явном виде. Имеем

Отсюда

. (3.9)

Используя формулы (3.8) и (3.9), нетрудно получить критерий

вырождения двумерного электронного газа и выражения для

концентрации в предельных случаях невырожденных и полностью вы-

вырожденных электронов (в формуле (3.9) в учебнике Шика с соаавт.допущена опечатка). Невырожденный случай реализуется, если

. (3.10)

При этом (3.8) принимает более простой вид:

. (3.11)

Формула (3.11) напоминает соответствующее выражение для

трехмерного электронного газа, отличаясь лишь сдвигом начала

отсчета энергии на и иным выражением для , более слабо

зависящим от температуры (~вместо ~).

Предел полного вырождения реализуется при выполнении условия, обратного (3.10). В этом пределе, пренебрегая слагаемым (-1), получим

, (3.12)

т. е. уровень химического потенциала (энергия Ферми) линейно

связан с концентрацией в отличие от трехмерного случая, где ~.

Заметим, что в квантово-размерных системах за счет меньшей

плотности состояний условие полного вырождения не требует

экстремально высоких концентраций или низких температур и

достаточно часто реализуется в экспериментах. Например в n-GaAs

при вырождение будет иметь место уже при комнатной температуре.

При выводе формул (3.8)—(3.12) мы предполагали, что носители заполняют лишь одну подзону. В случае вырождения необходимо, чтобы уровень Ферми лежал ниже . Согласно (3.12), это означает, что

. (3.13)

Для тонких пленок с энергетическим спектром (1.2) это условие

принимает простой вид:

. (3.14)

В квантовых нитях при одной заполненной подзоне линейная

концентрация дается формулой типа (3.8), содержащей

под интегралом дополнительный множитель за счет

одномерной плотности состояний (3.5). Такой интеграл в отличие от

(3.8) не вычисляется аналитически при произвольном вырфжении, и простые формулы могут быть написаны лишь для предельных случаев. В невырожденном одномерном электронном газе формула (3.11) сохраняет свой вид, если под понимать низший уровень в нити , а под — одномерную эффективную плотность состояний . В вырожденном случае

. (3.15)

3.3. Примесные состояния и экситоны в низкоразмерных

структурах

Потенциальная яма, ограничивая движение носителей узкой областью пространства, изменяет свойства не только свободных, но и связанных электронов. Мы кратко обсудим влияние размерного квантования на мелкий водородоподобный примесный центр.

Пусть притягивающий центр располагается внутри квантовой ямы в точке с координатой 0 < < а. Энергии уровней , создаваемых этим центром, определяются из уравнения Шредингера

. (3.16)

Если единственным условием, налагаемым на волновую функцию, является ограниченность, то ответом будет обычная водородоподобная серия уровней , где — эффективный ридберг. Однако при наличии

стенок ямы граничные условия изменяются и для бесконечных стенок

принимают вид

. (3.17)

Получить точное решение (3.16) для таких граничных условий в

общем виде не удается. Однако это можно сделать в пределе, когда

эффективный боровский радиус значительно превосходит ширину потенциальной ямы (толщину пленки):

>> (3.18)

При этом в знаменателе кулоновского члена в (3.16) можно опустить член , поскольку для электрона на связанном состоянии типичные значения х и у по абсолютной величине имеют поря-

порядок боровского радиуса, в то время как всюду внутри пленки . В результате переменные z и в уравнении Шредингера разделяются, что позволяет искать решение (3.16) в виде . Для получается обычное уравнение для частицы в яме с собственными значениями (1.2), в то время как в плоскости ху волновая функция должна определяться из уравнения Шредингера для «двумерного атома водорода» с потенциалом . Собственные

значения энергии для него равны , т. е. отличаются от

случая трехмерной водородоподобной задачи лишь заменой кван-

квантового числа i на i - 1/2. В результате энергетический спектр при-

примесных состояний в тонкой пленке имеет вид

. (3.19)

Условие (3.18) эквивалентно требованию, чтобы получившиеся

энергии связи были значительно меньше энергии раз-

размерного квантования. Это означает, что под каждым квантово-раз-

Рис. 3.2. Схематическая зависимость энергии связи примесного центра от ширины квантовой ямы.

мерным уровнем с фиксированным существует своя ридбергов-

ская серия. При этом примесные уровни, связанные со всеми

подзонами, кроме основной находятся на фоне состояний

сплошного спектра нижележащих подзон и могут самопроизвольно распадаться за счет переходов в эти состояния. Поэтому указанные уровни имеют конечное время жизни и, следовательно, конечную ширину даже в отсутствие столкновений.

Из (3.19) легко видеть, что основное связанное состояние примесного центра в двумерном случае имеет энергию связи, в 4 раза большую, чем в трехмерном. Физическая картина возрастания энергии связи достаточно понятна. Ограничение стенками ямы приводит к тому, что электрон не может уйти далеко от примеси и в среднем находится от нее на меньшем расстоянии, чем в однородном полупроводнике. Поэтому средняя энергия притяжения, определяющая энергию связи, увеличится.

Граничные условия (3.17) соответствуют модели бесконечно глубокой потенциальной ямы. При конечной глубине ямы зависимость от ширины ямы может носить более сложный, немонотонный характер. Это связано с тем, что с уменьшением уровень размерного квантования (при достаточно малых в яме существует лишь один уровень) становится все более мелким. При этом характерная длина, на которой спадают хвосты волновой функции в широкозонном материале, возрастает и в конечном счете начинает превосходить боровский радиус. Начиная с этого момента размерное квантование перестает оказывать влияние на связанные кулоновские состояния и их энергия связи вновь становится равной , как это показано на рис. 3.2. Заметим, что в гетероструктурах

эффективные массы в материалах ямы (m) и барьера () зачастую

различны. При этом предельные значения энергии связи для и

и будут различны. Первая из них определяется величиной

в узкозонном, а вторая — в широкозонном материале. Еще более разительно увеличение энергии связи в квантовых нитях. Существенное отличие от только что рассмотренного случая квантовых ям заключается в невозможности рассмотрения предельного случая нулевой толщины нити. В пленках при энергия связи имеет конечное значение , а при стремлении к нулю радиуса нити энергия связи стремится к бесконечности. Это означает, что в достаточно тонких нитях примесное состояние может быть в принципе сколь угодно глубоким.

До сих пор при рассмотрении кулоновской задачи как в пленке,

так и в нити мы полагали диэлектрическую проницаемость

одинаковой во всем пространстве. Однако в большинстве реальных

структур это далеко не так. Наиболее характерны в этом отношении тонкие пленки, представляющие собой структуры даже не с

двумя, а с тремя (подложка—пленка—воздух), порой сильно

различающимися проницаемостями. Разница в проницаемостях

приводит к тому, что потенциал заряженного центра в структуре,

входящий в уравнение Шредингера, уже не носит кулоновский

характер, как в (3.16), а существенно искажается за счет сил изображения. Это не может не сказаться на энергии связи примесного центра. Количественные расчеты здесь достаточно сложны, но

некоторые качественные выводы могут быть легко получены. Если в

области локализации носителей (в пленке или нити) больше, чем в

окружающей среде, то электрическое поле «выталкивается» из

указанной области. В результате взаимодействие носителя с полем

ослабляется и энергия связи уменьшается по сравнению с

диэлектрически однородными системами.

Полученные выше результаты для мелких примесных состояний

могут быть непосредственно применены для расчета экситонов в

квантово-размерных системах. Покажем это для случая двумерной

системы. Волновая функция в этом случае зависит от координат

как электрона , так и дырки , и уравнение Шредингера более

сложно, чем (3.16):

(3.20)

Задача заметно упрощается, если условие (3.18) выполняется для

обоих типов носителей. При этом по аналогии с примесным случаем кулоновском члене (3.20) можно пренебречь слагаемым .

Теперь удобно перейти к новым переменным в плоскости ху:

, ,

описывающим соответственно движение центра тяжести системы

и относительное движение электрона и дырки. В этих переменных

волновая функция системы принимает вид

(3.21)

и уравнение Шредингера (3.20) сводится к уравнению для

волновой функции относительного движения :

, (3.22)

где — приведенная масса электрона и дырки.

Уравнение (3.22) отличается от уравнения Шредингера для примесных состояний в двумерных системах лишь заменой на приведенную массу . Поэтому ответ для энергии связи экситонов может быть записан по аналогии с (3.19):

. (3.23)

Энергия связи экситонов, так же как и примесей, в двумерном случае оказывается существенно увеличенной (для основного состояния — в 4 раза). За счет этого экситонные эффекты в квантово-размерных системах оказываются значительно сильнее выражены, чем в массивном образце, и могут наблюдаться при достаточно высоких температурах, включая комнатные.

Рассмотрение экситонных эффектов в квантовых нитях более

сложно, чем в квантовых ямах. Показано, однако, что с достаточно хорошей точностью вывод о том, что энергия связи экситона

отличается от соответствующей энергии для мелкого примесного

центра лишь заменой на , сохраняет силу.

В наиболее распространенных полупроводниках, к которым, в

частности, принадлежат Si, Ge и соединения III—V, валентная зо-

зона носит сложный характер и содержит ветви тяжелых и легких

дырок. Поэтому существует два типа экситонов, содержащих

соответственно легкую и тяжелую дырку и обладающих в силу этого

различными энергиями связи.

1.3. Структуры с двумерным электронным газом

Наиболее очевидным примером структур с двумерным электронным газом являются тонкие пленки, использованные в предыдущем разделе для иллюстрации идеи размерного квантования.

Полуметаллами называют вещества, обладающие температурно-независи-

мой (как металлы), но достаточно низкой концентрацией

носителей. Наиболее распространенными полуметаллами явлются элементы V группы Bi, Sb, As.

Мы уже упоминали, что полупроводниковые или полуметаллические пленки являются для этой цели более предпочтительными, нежели металлические. И действительно, пленки Bi исторически были первым материалом, где экспериментально наблюдались квантовые размерные эффекты в проводимости [3] (об этом будет рассказано в главе 5). Такие пленки, имеющие необходимую толщину, достаточно высокую подвижность и хорошее качество поверхности, достаточно легко получаются методом вакуумного испарения.

Однако тонкие пленки не являются лучшим объектом для

наблюдения квантовых эффектов. Упомянутые пленки Bi с их зеркально

отражающими поверхностями — скорее исключение, обусловленное очень большой дебройлевской длиной волны в данном материале, чем правило. В других материалах, в том числе в полупроводниках, получить тонкие пленки необходимого качества весьма сложно. Причина в том, что на поверхности полупроводниковой пленки существует высокая плотность поверхностных состояний, играющих роль центров рассеяния. Поэтому тонкие пленки, широко использовавшиеся для изучения квантовых размерных эффектов в

конце 60-х гг., уступили ведущую роль вначале кремниевым МДП-структурам, а впоследствии квантовым гетероструктурам.

Структуры типа МДП (металл—диэлектрик—полупроводник) были известны задолго до открытия квантовых размерных эффектов и использовались (и продолжают использоваться) в качестве полевых транзисторов как в дискретном, так и в интегральном исполнении. На рис. 1.2 изображена зонная диаграмма такой структуры. На металлический затворный электрод, отделенный слоем диэлектрика толщиной d, подается напряжение , создающее в полупроводнике приповерхностный изгиб зон. Для достаточно больших этот изгиб может стать порядка ширины запрещенной зоны. При этом в полупроводнике вблизи границы с диэлектриком образуется тонкий инверсионный слой, содержащий носители противоположного знака, нежели в объеме полупроводника (в нашем случае слой n-типа в p-полупроводнике). Рассматривая металлический затвор и

инверсионный слой как две обкладки плоского конденсатора, легко

заключить, что двумерная плотность электронов в слое (плотность

состояний электронов на единицу площади двумерного электронного

газа) будет пропорциональна напряжению на затворе:

, (1.9)

где — диэлектрическая проницаемость диэлектрика; —

пороговое напряжение, соответствующее открытию инверсионного

канала, т. е. появлению в нем электронов.

Рис. 1.2. Энергетическая диаграмма МДП-структуры.

Основным материалом для изготовления МДП-структур является кремний, в первую очередь благодаря той легкости, с которой путем окисления создается однородный слой высококачественного диэлектрика , имеющий требуемую толщину.

Показанная на рис. 1.2 МДП-структура представляет собой готовый объект для наблюдения квантовых размерных эффектов [4]. Инверсионный слой представляет собой потенциальную яму для электронов, где одной стенкой является граница с диэлектриком, а роль второй стенки играет электростатический потенциал , прижимающий электроны к границе. Здесь - электрическое поле в инверсионном слое, которое, согласно (1.9) пропорционально напряжению на затворе, а — диэлектрическая проницаемость полупроводника.

Легко оценить характерную толщину инверсионного канала ,

играющую роль ширины квантовой ямы. Если определять как

ширину классически разрешенной области для электронов с энер-

энергией , то . С другой стороны, согласно (1.3), ~что дает ~и ~.

Важнейшей особенностью МДП-структур, отличающей их от

других квантово-размерных систем, является возможность управления концентрацией электронов . Она может изменяться в широких

пределах при изменении напряжения на затворе (см. (1.9)).

Максимальное значение определяется максимальным значением

напряжения, которое можно приложить к затвору без риска пробоя

диэлектрика. Для кремниевых структур оно имеет порядок .

Заметим, что изменение напряжения на затворе меняет одновременно концентрацию двумерных носителей и расстояние между

уровнями размерного квантования. Этим МДП-структура отлича-

отличается, скажем, от тонкой пленки, где концентрация и энергия уров-

ней определяются соответственно уровнем легирования и толщиной пленки и могут меняться независимо.

Существует еще одно важное различие между МДП-структурами

и тонкими пленками. Последние представляют собой потенциальную яму для обоих типов носителей, и квантование энергии (1.2) имеет место как для электронов, так и для дырок. В МДП-структуре, как и в любой иной системе, где ограничивающий потенциал (хотя бы с одной стороны) имеет электростатическую природу, квантуется энергия лишь одного типа носителей. Для другого типа носителей (на рис. 1.2 — дырок) потенциальная яма отсутствует и спектр остается непрерывным.

В настоящее время, однако, для изучения эффектов размерного

квантования используются не МДП-, а гетероструктуры —контакты между полупроводниками с различной шириной запрещенной зоны. На таком контакте края энергетических зон испытывают скачки, ограничивающие движение носителей и играющие роль стенок квантовой ямы. На рис. 1.3 показана типичная зонная диаграмма гетероперехода между полупроводниками n- и p-типа (анизотипного перехода). Видно, что она сходна с диаграммой МДП-структуры. Так же как и там, в узкозонном полупроводнике вблизи границы раздела может образовываться инверсионный слой, играющий роль потенциальной ямы для электронов, в

которой существуют уровни размерного квантования.

Важнейшим достоинством гетероперехода является высокое

качество гетерограницы. При выборе в качестве компонент гете-

ропары вещества с хорошим согласием постоянных решетки (бо-

(более подробно о соответствующих технологических проблемах

рассказывается в главе 2) удается уменьшить плотность поверхно-

поверхностных состояний на гетерогранице до значений порядка ,

что на несколько порядков меньше, чем в лучших МДП-структу-

рах. Такая малая плотность состояний в совокупности с атом-

но-гладкой морфологией границы приводит к возможности получения рекордно высоких подвижностей в приповерхностном канале. В гетероструктурах GaAs-AlGaAs были получены значения подвижности электронов, превосходящие /(В • с), в то время как для лучших Si-МДП-структур 5 • /(В • с). В результате столкновительное уширение уровней в гетероструктурах крайне мало, что позволяет наблюдать различные тонкие эффекты.

Концентрация носителей в канале гетероструктуры определяется разрывами зон на гетерогранице и уровнями легирования компонент гетеропары. Для системы GaAs-AlGaAs она, как правило, не

превосходит . В структуре, изображенной на рис. 1.3, эта величина является фиксированной. Если со стороны широкозонного материала на поверхность структуры нанести дополнительный

Рис. 1.3. Зонная диаграмма одиночного гетероперехода.

затворный электрод, то, изменяя напряжение на нем, можно менять в

некоторых пределах, хотя и не столь эффективно, как в МДП-структу-

рах.

В гетероструктуре рис. 1.3 потенциальная яма, ответственная за

размерное квантование, образована разрывом зон с одной сто-

стороны и электростатическим полем перехода с другой. Это аналог

инверсионного слоя МДП-структуры, в котором квантуется движение лишь одного типа носителей. Существуют также гетероструктурные аналоги тонкой пленки с размерным квантованием как электронов, так и дырок. Это двойные тонкослойные структуры,

или квантовые ямы, представляющие очень тонкий слой узкозонного полупроводника между двумя широкозонными (рис. 1.4).

Если толщина узкозонного слоя значительно меньше длины

экранирования, то изгибы зон за счет объемного заряда в полупроводниках

незначительны и зонная диаграмма структуры имеет вид,

изображенный на рис. 1.4, в. Видно, что в зоне проводимости образуется

практически прямоугольная квантовая яма шириной и глубиной .

Аналогичная яма глубиной существует в валентной зоне.

Рис. 1.4. Зонная диаграмма двойной гетероструктуры при различной

толщине узкозонного слоя.

Рис. 1.5. Зонная диаграмма дельта-слоя.

Укажем в заключение еще на один тип квантово-размерных структур — так называемые дельта-слои [5]. Это полупроводники с предельно неоднородным профилем легирования, где примесные ионы не распределены однородно по объему, а сосредоточены в очень тонком слое в один или несколько периодов решетки. Носители, образовавшиеся при ионизации примесей, удерживаются их зарядом вблизи плоскости слоя. Электрическое поле слоя ионов экранируется зарядом электронов, и результирующая

потенциальная яма имеет вид, схематически показанный на рис. 1.5.

Отличительной чертой дельта-слоев является возможность получения в

них очень высокой концентрации размерно-квантованных носителей (до значений порядка ), заметно большей, чем в других описанных структурах. Однако подвижность носителей в них сравнительно невелика за счет рассеяния на большом количестве примесных ионов, лежащих непосредственно в плоскости слоя.

1.4. Структуры с одномерным электронным газом

(квантовые нити)

Получение квантовых структур с эффективной размерностью

меньше двух (квантовых нитей и точек) является более сложной задачей,

чем технология двумерных систем, описанных в предыдущем

разделе. Наиболее распространенным способом ее решения является

субмикронная литография. При этом исходным объектом является

структура с двумерным газом, чаще всего одиночная гетерострукту-

ра, показанная на рис. 1.3. Она подвергается литографической

процедуре, в ходе которой движение электронов ограничивается еще в

одном из направлений. Для этого могут быть использованы два различных подхода.

Наиболее очевидный из них — это непосредственное «вырезание» узкой полоски с помощью литографической техники (рис. 1.6, а). При этом для получения электронных нитей шириной в десятки

Рис. 1.6. Гетероструктуры с квантовыми нитями, полученные с помощью

субмикронной литографии за счет вытравливания узкой полоски из самой

структуры (а) или щели в затворе Шоттки (б).

1 — AlGaAs; 2 — GaAs; 3 — электронный газ; 4 — металлический затвор.

нанометров, где квантование энергии электронов будет заметным, не

обязательно делать полоски столь малой ширины, что представляет

собой нелегкую технологическую задачу. Дело в том, что на боковых

гранях вытравленной полоски, как и на свободной поверхности по-

полупроводника, образуются поверхностные состояния, создающие,

как правило, слой обеднения. Этот слой вызывает дополнительное

сужение проводящего канала, в результате чего квантовые эффекты

можно наблюдать и в полосках большей ширины—порядка десятой

доли микрона.

Можно поступить и иначе. Поверхности полупроводниковой

структуры с двумерным газом покрывают металлом, создающим с

полупроводником контакт Шоттки и имеющим узкую щель

(рис. 1.6, б). Если гетерограница находится достаточно близко от

поверхности, то двумерные электроны будут отсутствовать всюду,

кроме узкой области под щелью. Такой тип одномерной структуры

обладает дополнительным преимуществом: меняя напряжение на

металлическом затворе, мы можем управлять эффективной шириной квантовой нити и концентрацией носителей в ней.

Существуют и другие методы создания квантовых нитей. Способ, изложенный в работе [7], использовался для создания лазеров

на структурах с квантовыми нитями. На подложке широкозонного

полупроводника (например, AlGaAs) была сделана узкая канавка

(или серия параллельных узких канавок) треугольного сечения

(рис. 1.7). При эпитаксиальном выращивании на такой подложке

квантовой ямы, т. е. тонкого слоя узкозонного полупроводника

(GaAs), а затем снова широкозонного материала, толщина слоя

GaAs на плоской части подложки () будет меньше, чем в канавке

(а). Поэтому, в согласии с (1.3), размерно-квантованные энергети-

Рис. 1.7. Гетероструктура на подложке с узкой канавкой.

ческие уровни внутри канавки расположены ниже, чем в остальной части слоя GaAs. Это означает, что носители заряда (как электроны, так и дырки) при невысокой их концентрации будут стремиться локализоваться на квантовых уровнях в пределах канавки, образуя вдоль нее квантовую нить.

1.5. Структуры с нуль-мерным электронным газом

(квантовые точки)

Принципы создания квантовых нитей, описанные в предыдущем

разделе, могут быть также применены и для создания квантовых

точек. Для этого фактически требуется лишь изменить картинку,

вытравливаемую на двумерной структуре с помощью субмикронной литографии. В случае квантовых нитей она представляла собой систему узких полосок. В случае квантовых точек речь идет об отдельных кружках (или иных изолированных плоских фигурах) субмикронного размера, которые либо оставляются нетронутыми, если используется метод прямого вытравливания, как на рис. 1.6, а, либо, наоборот, вытравливаются в металлическом покрытии для структур с контактом Шоттки, показанных на рис. 1.6, б.

Следует заметить, что методы субмикронной литографии достаточно дороги и имеют естественные ограничения по размерам, не позволяя получать структуры с предельно малым боковым ограничением, таким же как в направлении роста, Поэтому в технологии квантовых нитей и особенно квантовых точек усиленно ведется поиск альтернативных методов получения таких структур. Особенно привлекательной выглядит возможность использования эффектов самоорганизации, где наноструктуры определенных размеров формируются сами, под влиянием внутренних сил, действующих в

процессе роста. Известны два основных способа формирования

квантовых точек подобным образом.

Первый способ состоит в выращивании полупроводниковых на-

нокристаллов с характерными размерами в единицы и десятки нано-

Рис. 1.8. Система самоупорядоченных квантовых точек InAs на поверхно-

поверхности GaAs.

метров. Существует ряд технологических приемов, позволяющих

этого добиться. Например, при выращивании полупроводников

из пересыщенного раствора в стеклянной матрице процесс формирования зародышей будет определяться диффузией полупроводниковых атомов к центрам роста. Вначале зародыши растут монотонно со временем, но затем, когда пересыщение падает, начинается перераспределение атомов между различными зародышами, приводящее к выравниванию их размеров и формированию достаточно узкой функции их распределения. В результате можно получить большое количество почти одинаковых нанокристаллов с размерами, требуемыми для наблюдения квантовых размерных эффектов,

«вмороженных» в стеклянную матрицу. Возможно получать нанокристаллы и в иных прозрачных твердых и жидких средах. Наиболее часто подобным методом получают нанокристаллы полупроводниковых соединений II—VI (CdS, CdSe и др.).

Суть второго способа заключается в формировании слоя квантовых точек при гетероэпитаксии полупроводников с большим рассогласованием параметров решетки. Наиболее распространенной системой здесь является пара GaAs-InAs, для которой параметры решетки отличаются на 7 %. С точки зрения эпитаксии это очень большое рассогласование, и при выращивании достаточно толстого слоя InAs на подложке GaAs мы получили бы сильно

дефектную гетерограницу с большой плотностью дислокаций

несоответствия. Однако если толщина слоя составляет лишь несколько

периодов решетки, энергетически более выгодно деформировать

слой, сделав период его решетки таким же, как у подложки, нежели образовывать дислокации несоответствия. Свойства структур с

такими напряженными слоями еще будут обсуждаться в этой

книге. Сейчас же для нас важно другое обстоятельство. На начальной

стадии роста подобной структуры, когда количество атомов InAs

еще недостаточно для полного покрытия подложки, они образуют

на подложке отдельные островки. Совместное влияние упругих

напряжений на гетерогранице и сил поверхностного натяжения на

внешних поверхностях островков приводит к тому, что все

островки имеют одинаковые размеры, обычно в несколько нанометров, и

образуют периодическую решетку на поверхности подложки.

Поскольку ширина запрещенной зоны в InAs значительно меньше,

чем в GaAs, то эти островки представляют собой трехмерные потенциальные ямы для носителей, или, иными словами, квантовые точки. На рис. 1.8 показано изображение самоупорядоченной структуры с квантовыми точками InAs на поверхности GaAs, полученное с помощью атомарно-силового микроскопа.

1.6. Структуры с вертикальным переносом

Физика размерного квантования и энергетический спектр

соответствующих наноструктур обсуждались в разделе 1.1 на примере

одиночных пленок, нитей и точек. Реальные экспериментальные

образцы (в особенности квантовые точки) в большинстве случаев

содержат большое количество одинаковых или почти одинаковых

квантовых объектов. Как правило, это не меняет физической

картины, поскольку вклады от всех объектов просто суммируются.

Ситуация, однако, резко меняется, если отдельные слои, нити или

точки находятся столь близко друг к другу, что носители заряда

могут туннелировать между ними.

Рассмотрим систему параллельных квантовых ям, показанную

на рис. 1.9, с очень тонкими (порядка единиц нанометров)

широкозонными разделяющими слоями. При этом ямы уже не являются

независимыми и могут обмениваться электронами за счет туннели-

рования через широкозонный слой. Подобные структуры принято

называть структурами с вертикальным переносом. Рис. 1.9 отвеча-

отвечает системе квантовых ям, но, подвергнув эту систему литографиче-

литографической процедуре (см. раздел 1.4), мы можем иметь систему

квантовых нитей или точек, между которыми возможен вертикальный пе-

Рис. 1.9. Зонная диаграмма сверхрешетки.

ренос. Подобные структуры служат основой для ряда приборов

наноэлектроники, обсуждаемых далее, таких, например, как

резонансно-туннельный диод или одноэлектронный транзистор.

Если число параллельных слоев в структурах с вертикальным

переносом велико (как минимум, несколько десятков), мы имеем

искусственную периодическую структуру, или сверхрешетку. Наиболее важным свойством сверхрешеток, определяющим

все их уникальные физические свойства, обсуждаемые далее,

является видоизменение их энергетического спектра по сравнению

со спектром одиночной квантовой ямы (1.4).

Из рис. 1.9 видно, что на электроны и дырки в сверхрешетке

действует дополнительный прямоугольный потенциал V(z), связан-

связанный с разрывами зон на гетерограницах. Этот потенциал является

периодическим, как и потенциал кристаллической решетки, и к

нему применимы все основные выводы о свойствах уравнения

Шредингера с периодическим потенциалом, излагаемые в любом

курсе физики твердого тела. Напомним важнейшие из них.

Движение носителей вдоль оси z (ось сверхрешетки) может быть

описано с помощью квазиимпульса , причем энергия является

периодической функцией с периодом 2/(a + b). Энергетический

спектр носит зонный характер и представляет собой чередование

разрешенных и запрещенных зон. Эти зоны есть результат

дробления исходной зоны проводимости (для электронов) и

валентной зоны (для дырок), поэтому их принято называть минизонами.

Наибольший интерес представляют минизоны, образованные из

нижних уровней квантовой ямы, где сконцентрирована основная

масса носителей. Их ширина определяется вероятностью туннели-

рования из ямы в яму и потому невелика. Такие минизоны хорошо

описываются в приближении сильной связи, которое приводит к

закону дисперсии

. (1.10)

Между энергетическими спектрами сверхрешетки и обычной

кристаллической решетки существуют большие различия.

Во-первых, зонным спектром (1.10) характеризуется лишь

движение вдоль оси сверхрешетки . В плоскости слоев носители

движутся как свободные и полный спектр сверхрешетки резко

анизотропен, так же как в рассмотренных выше двумерных системах

(1.4):

+. (1.11)

Во-вторых, благодаря тому, что период сверхрешетки намного

больше, чем параметр решетки кристалла, характерный масштаб

энергий и импульсов в спектре оказывается значительно

меньшим. Характерные ширины минизон 2измеряются десятыми

или сотыми долями электронвольта, что сравнимо с тепловой

энергией электрона. Поэтому движение по минизоне нельзя

описать постоянной эффективной массой. Динамика в направлении

оси сверхрешетки носит сложный характер, что служит причиной

ряда необычных эффектов, рассматриваемых далее.

При увеличении толщины барьерных слоев их туннельная

прозрачность уменьшается и минизоны сужаются, превращаясь в

дискретные уровни отдельных слоев. В противоположном

случае сужаются все запрещенные минизоны и мы приходим к

случаю однородного полупроводника. Поэтому формально

сверхрешетки можно рассматривать как промежуточный случай между

дву- и трехмерными электронными системами.

Существуют также непериодические квантовые сверхрешетки, в

которых параметры чередующихся слоев (толщина барьера или ширина ямы) меняются по определенному закону либо совершенно случайным образом. Энергетический спектр таких сверхрешеток существенно отличается от спектра периодических сверхрешеток, так, например, в сверхрешетках со случайным чередованием полностью отсутствуют минизоны. Среди непериодических сверхрешеток выделяются квазипериодические сверхрешетки, у которых решетка образуется путем чередования двух структурных элементов А и В, каждый из которых состоит из барьера и ямы.

Структурные элементы отличаются либо шириной ямы, либо

шириной (или высотой) барьера. В сверхрешетке Фибоначчи

последовательное увеличение количества слоев в решетке происходит по закону Фибоначчи и решетки по мере роста количества слоев образуют иерархическую структуру , в которой каждый последующий член ряда образуется как последовательное соединение двух предыдущих:

. Так, например, В А, = ABA, = ВААВА,..., АВААВАВААВА... Существуют и другие законы образования непериодических сверхрешеток. Их особенностью является фрактальная структура энергетического спектра и самоподобие спектра плотности состояний. Это выражается в том, что в решетках с достаточно большим количеством слоев структура спектра плотности состояний в целом оказывается такой же, как и в небольшом интервале энергий. При этом в

спектре плотности состояний проявляется чередование широких и

узких ступеней. По своим свойствам квазипериодические сверхрешетки занимают промежуточное положение между периодическими и совершенно неупорядоченными сверхрешетками.

Дата добавления: 2014-01-05