Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем




-примеры: выход из строя любого элемента аппаратуры может произойти в любой момент времени, окончание ремонта этого элемента также может произойти в произвольный момент и т.д.

Для описания таких процессов может быть применена схема Марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Для вероятностей состояний p(t) такого процесса выполнено:

,

т.к. в момент времени t система находится в одном из своих состояний.

В случае процесса с непрерывным временем, вероятность перехода системы из состояния в состояние точно в момент t будет равна нулю так же, как вероятность любого отдельного значения случайной непрерывной величины. Поэтому вместо переходных вероятностей pij рассматривают плотности вероятностей перехода.

Определение. Плотность вероятности перехода λij – это предел отношения вероятности перехода системы за время t из состояния Si в состояние Sj к длине промежутка t, когда t0:

ij не определена, т.к. t=0)

t0

Для однородного Марковского процесса плотности вероятностей перехода λij не зависит от t.

 

При построении графа состояний, над стрелками между состояниями указывают плотности вероятностей перехода. Такой граф называют размеченным графом состояний. Зная размеченный граф состояний можно определить вероятности состояний:

p1(t), p2(t), p3(t), …, pn(t)

как функции времени. Эти вероятности удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям, которые называются уравнениями Колмогорова.

Покажем, как выводятся уравнения Колмогорова, на конкретном примере:

 

Рассмотрим сначала p1(t) – вероятность того, что система в момент t будет находиться в состоянии Si.

Придадим t малое приращение t и найдем вероятность того, что в момент t+t система будет находиться в состоянии S1. Это состояние может произойти двумя способами:

- в момент t система была в состоянии S1 и за время t не вышла из этого состояния;

- в момент t система была в состоянии S3 и за время t перешла в S1

Вероятность первого варианта найдем как производные вероятности p1(t) на условную вероятность того, что будучи в состоянии S1 система за время t не перейдет из него в S2. Эта условная вероятность (с точностью до бесконечно малых порядков) равна 1-*t; т.е.

p1(t)*(1-*t).

Аналогично, вероятность второго варианта равна вероятности того, что система была в состоянии S3, умноженной на условную вероятность перехода за время t в состояние S1:

p3(t)** t

Применим теорему сложения вероятностей, получим:

p1(t+t)=p1(t)*(1-*t)+p3(t)**t=

=-* p1(t)+ * p3(t)lim()

t0

Аналогично можно вывести дифференциальные уравнения для p2(t), p3(t)

-уравнения Колмогорова

Начальные условия определяются начальным состоянием системы. Например, если при t=0 система находилась в S1, то

p1(0)=1; p2(0)=p3(0)=0

Интегрирование этой системы дает искомые вероятности как функции времени.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 3795; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.