КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Для того, чтобы надлежащим образом понимать принципы и методы вычислений, используемых в финансовой математике, необходимо знакомство с такими понятиями, как арифметическая и геометрическая прогрессии. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа , называемого разностью этой арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическую прогрессию можно записать в виде: , , , …. Если , то арифметическая прогрессия называется возрастающей, если - убывающей. Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным или неограниченным. Приведем без доказательства две общие формулы при использовании арифметической профессии: - формула для определения п- го члена арифметической прогрессии (1.12) - формула для нахождения суммы п первых членов арифметической прогрессии (1.13) Характеристическим свойством арифметической прогрессии является тот факт, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при п>2 справедливо
Проиллюстрируем введенное понятие. Пример: Господин N старается спланировать должным образом приближающийся выход на пенсию. Брокер по инвестиционным ценным бумагам предложил схему, согласно которой господин N платит крупную сумму фирме, а в обмен получает гарантированный ежемесячный доход в 300 тенге. Более того, каждый месяц доход будет увеличиваться на 40 тенге Какова будет ситуация через 5 лет? В этих условиях (выражая деньги в тыс. тенге) , , (умножаем 5 лет на 12 месяцев). По формуле (1.12) находим величину дохода, который через 5 лет господин N получит за месяц:
тыс. тенге Используя формулу (1.13), находим общий доход за 5 лет: тыс. тенге Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем умножения его на одно и то же число , называемое знаменателем этой геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическую прогрессию можно записать в виде , , , , …. Число членов геометрической прогрессии может быть ограниченным или неограниченным. Также приведем без доказательства две общие формулы при использовании геометрической прогрессии: формула для определения -го члена геометрической прогрессии (1.15) формула для нахождения суммы п первых членов геометрической прогрессии (1.16) Характеристическим свойством геометрической прогрессии с положительными членами является тот факт, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. при справедливо (1.17) Если |, то при неограниченном возрастании числа сумма стремится к пределу (1.18) Это число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Пример: Господин N, обдумывающий свой выход на пенсию, обратился к другому брокеру и тот предложил схему, по которой за ту же самую крупную инвестиционную сумму обеспечивается гарантированный ежемесячный доход в 300 тенге вместе с увеличением каждый месяц этого дохода на 4%. Какова будет ситуация через 5 лет? В этих условиях , , . По формулам (1.15), (1.16) получим тыс. тенге тыс. тенге На первый взгляд предложенная брокером схема менее предпочтительна для господина N, чем в предыдущем примере. Однако все зависит от срока. Так, уже через 7 и 8 лет общий доход господина N будет равен: тыс. тенге и тыс. тенге. В то время как, придерживаясь первоначальной схемы, он получит через 7 и 8 лет соответственно 164,64 тыс. тенге и 211,2 тыс. тенге, что гораздо хуже. И чем дальше, тем больше будет ощущаться разница в доходах, доставляемых разными предложенными схемами.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1706; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |