Наращение по учетной ставке

Можно рассмотреть задачу, обратную банковскому дискон­тированию. Пусть от учета капитала F по учетной ставке за время была получена сумма . Требуется определить вели­чину F. Из формулы (2.18) получим

(2.20)

Задачи такого типа возникают, например, при определении суммы, которую надо написать в векселе, если задана текущая величина долга.

Пример:

За вексель, учтенный за полтора года до срока по дисконтной ставке 8%, заплачено 2,2 тыс. тенге Определить номинальную величину векселя.

Поскольку ; ; ; то из (2.20) получим

тыс. тенге

Так как , то формула (2.20) отражает наращение капитала на основе простой учетной ставки , и приращение капитала вычисляется по формуле

(2.21)

что, конечно, представляет собой вычисление процентов "во 100" величины , т.е. по формуле (2.20) капитал наращивается процентами "во 100". Приращение не пропорционально ни времени , ни ставке .

Величина является множителем наращения. Этот множитель равен индексу роста капитала за время и явля­ется обратной величиной коэффициента дисконтирования.

При , из формулы (2.21) следует, что

,

т.е. множитель наращения представляет собой сумму, например, рубля и его процентов за один год "во 100".

При наращении капитала на основе простой процентной ставки г капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину . При применении наращения на основе простой учетной ставки величина начисляемых процентов с каждым годом увеличивается. Пользуясь формулой (2.21), выпишем в явном виде приращение капитала за каждый год.

За первый год капитал увеличится на величину .

За два года капитал увеличится на величину , и, следовательно, его приращение за второй год составит:

.

За три года капитал увеличится на величину и, следовательно, его приращение за третий год составит:

и т.д.

Вообще за -й год капитал увеличится на вели­чину:

.

Из написанных равенств следует, что

, , …, т.е. , .

И поскольку , то . Очевидно, что .

Пример:

На капитал в 3 млн. тенге в течение 5 лет осуществляется на­ращение простыми процентами по учетной ставке 12%. Найти приращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.

Общая наращенная сумма определяется по формуле (2.20):

млн. тенге. Приращение капитала за пять лет составит величину: млн. тенге. Приращения за каждый год равны:

млн. тенге;

млн. тенге;

млн. тенге;

млн. тенге;

млн. тенге

С целью проверки просуммируем полученные величины:

млн. тенге, т.е. как и должно быть, получили .

Формулы (2.20) и (2.1) показывают, что простая учетная ставка дает более быстрый рост, чем такая же по величине простая процентная ставка .

Это легко обосновать математически. Пусть . Обо­значим

,

При справедливо неравенство , а тогда и .

Графически взаимосвязь между и выглядит таким об­разом (рис 4):

Рис. 4. Наращение простыми процентами по учетной и процентной ставкам

Нетрудно заметить, что прямая является касательной к ветви гиперболы при .

Формулу (2.20) можно применять только при , так как при она приводит к абсурду. Так, при и (лет) получим , а при получим , что не имеет смысла.

Найдем соотношение между годовыми процентными ставка­ми и , обеспечивающими через период времени получе­ние одной и той же наращенной величины из начального капитала .

Поскольку и , то из равенства путем несложных алгебраических преобразований получим

(2.22)

Пусть , тогда из (2.22) следует

Таким образом, ставка численно равна наращенной сумме, получаемой через год из капитала величиною , инвестирован­ного под простые проценты . В свою очередь, является при­веденной стоимостью величины , соотнесенной к началу года.

Записав , можно сказать, что является процентами "на 100" одной денежной единицы согласно ставке . Аналогичным образом, так как , то является процентами "во 100" одной денежной единицы согласно ставке .

Рассмотрим с этих позиций показатели, введенные в первом разделе первой главы, смысл которых можно объяснить анало­гичным образом, как для и .

Умножая обе части равенства (2.22) на и обозначая , , получим

откуда следуют равенства (1.3). Иначе говоря, является на­ращенной за время t величиной для , a представляет со­бой современное значение величины , приведенной к началь­ному моменту.

Ставки и , связанные между собой соотношением (2.22), называются эквивалентными, так как они приводят к одинако­вому финансовому результату (выполнение этого требования и позволило получить (2.22)). Согласно (2.22) соотношения между процентной ставкой и эквивалентной ей учетной ставкой имеют вид:

и

Пример:

Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 19%, при наращении капитала за год.

Поскольку , , то , или . Таким же образом, учет за год по учетной ставке 16% приносит такой же доход, как наращение простыми процентами по ставке 19%.

Когда время измеряется в днях , то , где - вре­менная база, равная количеству дней в году (360 или 365, 366). Если для ставок и используется одна и та же временная база , то (2.22) примет вид , откуда

и

Если при начислении процентов по ставке используется временная база , а при учете по ставке - временная база , то из равенства

следует . Отсюда, в частности, при и получим

и

Пример:

Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по учетной ставке 12%, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по процентной ставке при времен­ной базе, равной 365.

Согласно последним формулам , или .

Учетная ставка может иногда меняться во времени. Пусть на период установлена учетная ставка (заметим, что индекс в обозначении ставки означает в данной ситуации просто номер ставки, а не время согласно ранее принятым нами согла­шениям). Тогда дисконт за этот период равен величине . Если таких периодов (т.е. ), то дисконт за время (считая, что все периоды и, следовательно, ставки измеряются в одних и тех же соответствую­щих единицах) определяется по формуле

,

следовательно,

,

откуда получаем

(2.23)

Если , т.е. на весь период соглашения ус­тановлена постоянная ставка, то

,

и мы, естественно, из (2.23) получаем формулу (2.20). Если же , т.е. все периоды равны между собой, то

,

и опять получаем (2.20), заменяя все учетные ставки их сум­мой .

Сделаем некоторые заключения о способах наращения капи­тала и способах его учета, соотнеся их с методами вычисления процентов.

Возможны два способа наращения капитала: наращение про­центами "со 100" (формулы (2.1), (2.2)) и наращение процента­ми "во 100" (формулы (2.20), (2.21)).

В первом случае происходит суммирование первоначального капитала и процентного дохода (в соответствии с процентной ставкой ), причем начисление процентов осуществляется в конце расчетного периода. Такой способ начисления процентов по процентной ставке г называется декурсивным (последую­щим), а саму ставку иногда называют ссудным процентом.

Во втором случае проценты начисляются в начале расчетного периода на сумму погашения долга в соответствии с учетной ставкой . Такой способ начисления процентов называется антисипативным (предварительным). Вообще наращение процен­тами "во 100" (антисипативное) используется, как правило, при учете долговых обязательств и при выдаче ссуд, а также в пе­риоды высокой инфляции.

Если, например, внести в банк 4 тыс. тенге на полгода под 10% годовых, то через полгода можно получить свои 4 тыс. тенге вместе с 0,2 тыс. тенге, являющимися процентами "со 100", т.е. всего 4,2 тыс. тенге (декурсивное начисление). Если же обра­титься в банк за ссудой в 4 тыс. тенге на полгода под 10%, то банк удержит проценты за весь срок ссуды (0,2 тыс. тенге) сразу, т.е. будет выдано на самом деле 3,8 тыс. тенге, а через полгода банк получит 4 тыс. тенге. Следовательно, банк получит 3,8 тыс. тенге с процентами на эту сумму "во 100" (антисипативное на­числение).

Возможны два способа учета капитала: учет из процентов "со 100" (формулы (2.17), (2.18)) и учет из процентов "на 100" (формулы (2.15), (2.16)).

Таким образом, можно сказать, что является ставкой на­ращения процентами "со 100" и ставкой учета процентами "на 100", a является ставкой учета процентами "со 100" и ставкой наращения процентами "во 100".

Как мы видели, проценты "со 100" находят в прямых задачах, а проценты "на 100" и "во 100" - в обратных задачах.

Дата добавления: 2014-01-05