Простейшие свойства рядов

Свойство 1 (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (А) сходится, то его общий член ряда стремится к нулю .

Опр. Произведением ряда (А) на число назовем ряд С(А). Суммой рядов (А) и (В) назовем ряд (С) с общим членом .

Свойство 2. Ряд, полученный умножением сходящегося ряда (А) на конечное число , тоже сходится, причем его сумма , где - сумма ряда (А).

Свойство 3. Если ряды (А) и (В) сходятся, то ряд, представляющий их сумму, тоже сходится, причем его сумма

Определение Остатком ряда (А) после -го члена (или -м остатком) назовем ряд

Свойство 4. При любом сходимость ряда (А) равносильна сходимости его -го остатка, причем сумма ряда (А) .

Следствие из свойства 4: выбрасывание из ряда конечного числа его членов или вписывание в него конечного числа членов не влияет на сходимость ряда. При этих действиях достаточно далекие остатки нового ряда могут являться остатками прежнего ряда, и т.к. прежний ряд сходится, то новый тоже будет сходиться.

Дата добавления: 2014-01-05