КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Положительные ряды
Ряд называется положительным, когда все его члены . Эти ряды интересны тем, что для произвольного ряда, рассматривая ряд из абсолютных величин, получим положительный ряд. . Для положительного ряда кроме критерия Больцано-Коши есть более простой критерий. Теорема 1. Для положительного ряда: а) сумма ряда всегда существует, причем ; б) эта сумма конечна, если множество частичных сумм ограничено сверху, и бесконечна в противном случае. Теорема 2 (Критерий сходимости положительного ряда). Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы множество его частичных сумм было ограничено.
. Теоремы сравнения для положительных рядов. Пусть даны два ряда (А) и (В).
Теорема 1. Если, начиная с некоторого номера , выполняется, что , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А) и из расходимости (А) следует расходимость (В). Теорема 2. Если с некоторого номера выполняется , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А) и из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В). Доказательство: Пусть - выполняется Теорема 3. Если существует , то: 1) при сходимость ряда (А) равносильна сходимости ряда (В); 2) при из сходимости (В) следует сходимость (А) и из расходимости (А) следует расходимость (В); 3) при из сходимости ряда (А) следует сходимость (В) и расходимости (В следует расходимость (А)). Для применения признаков сравнения используются ряды, о сходимости и расходимости которых нам известно: в качестве таких рядов часто используют обобщенный гармонический ряд , который . . Признаки Коши и Даламбера для положительных рядов. Рассмотрим ряд (А). Будем сравнивать его по теореме 1 с суммой членов геометрической прогрессии (Q). Ряд (Q) сходится при . Теорема1. Если существует , то: 1) если , ряд сходится; 2) если , ряд расходится; 3) - неопределенный случай. Теорема 2. Если существует , то: 1) если , ряд сходится; 2) если , ряд расходится; 3) - неопределенный случай. Примеры: 1) Исследуем на сходимость по правилу Коши: ряд сходится.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 619; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |