Разложение функции в степенные ряды

Частичные суммы степенного ряда представляет собой многочлены, так что легко вычисляются. Поэтому удобно при возможности представить функцию в виде суммы степенного ряда (или, как говорят, разложить функцию в ряд).

Пусть разложима в степенной ряд, т.е. существуют коэффициенты и точка , такие, что (1).

Ясно, что в этом случае, если некоторой промежуток - область сходимости, то внутри этого промежутка степенной ряд можно бесконечно дифференцировать, поэтому необходимым условием разложения функции в степенной ряд в промежутке является бесконечная дифференцируемость в .

Пусть есть и разложима в ряд (1), тогда согласно теореме о бесконечной дифференцируемости степенного ряда для имеем:

Продолжая процесс, получаем:

(2)

Таким образом, ряд, который разлагается, функция необходимый имеет вид:

(3)

(3) – ряд Тейлора для функции с центром в точке .

Ясно, что для любой функции, бесконечно дифференцируемой в точке , ряд Тейлора всегда существует. Сходимость же этого ряда надо исследовать.

Теорема (достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора)

Пусть , причем все производные -ного порядка в в совокупности ограничены, т.е. . Тогда в функция разложима в свой ряд.

Дата добавления: 2014-01-05