Разложение в ряд Тейлора некоторых функций

Все разложения будем рассматривать в точке (ряд Маклорена).

1. Рассмотрим функцию .

Для этой функции имеем, что для и при любом действительном .

Вычислим коэффициенты ряда Тейлора:

2. Рассмотрим функцию . В любом промежутке вида выполняется:

3. Логарифмическая функция.

Дифференцирую по и разлагая полученную производную по формуле геометрической прогрессии имеем:

при .

Интегрируя это равенство почленно, получаем:

Данное разложение в промежутке и оно так же верно при .

4.

Данное разложение справедливо в промежутке (в нем непрерывен, поэтому функция разложима).

4. Биноминальное разложение:

Применяя признак Даламбера, можно найти радиус сходимости:

- ряд сходится в интервале (-1,1).

Дата добавления: 2014-01-05