Критерий Найквиста. Находим передаточную функцию замкнутой системы

Находим передаточную функцию замкнутой системы

.

Записываем характеристический полином замкнутой системы

и соответствующий ему комплексный частотный полином

.

Его действительная и мнимая части:

,.

Определяем частоты пересечения, координаты точек пересечения, углы.

V (ω) = 0. = 0, U () = 4, φ() = 0.

=, () = –2, φ() = 2 (p/2).

U (ω) = 0. =, V () =, φ() = (p/2).

ω = ∞ φ (ω) = – 3(p/2).

Требование < < выполняется, углы последовательно возрастают, вектор D (j ω) делает поворот на 3(p/2) радиан.

Вывод: система устойчивая.

Критерий Гурвица и критерий Михайлова могут применяться для исследования устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых систем, на основе характеристического полинома. Критерий Найквиста применяется для исследования устойчивости замкнутых систем. На основе комплексной частотной характеристики (амплитудно-фазовой частотной характеристики) разомкнутой системы.

КЧХ имеет действительное и мнимое слагаемые:

. (2.9)

Для построения КЧХ задают ω от 0 до ∞ и на комплексной плоскости получают годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки – 1 на действительной оси, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим формулировки критерия Найквиста для трех случаев.

1. Разомкнутая система устойчива. Если годограф устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывает точку –1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – замкнутая система неустойчивая.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутой системам, представлены на рис. 5.8 и 5.9.

U

– 1

V

U

V

– 1

Рис. 5.8. Устойчивость

Рис. 5.9. Неустойчивость

Во второй формулировке критерия Найквиста используются понятие охвата точки годографом в положительном или отрицательном направлении. Положительным направлением считается такое, при котором конец вектора движется против часовой стрелки. Отрицательным – по часовой стрелке.

2. Разомкнутая система неустойчива. Если годограф неустойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывает точку –1 на оси абсцисс в положительном направлении m /2 раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 5.10 и 5.11 для m = 2.

U

V

- 1

U

V

- 1

Рис. 5.10. Устойчивость (m = 2)

5.11. Неустойчивость (m = 2)

Если разомкнутая система имеет передаточную функцию, содержащую в знаменателе множителем комплексную переменную р,

,

то комплексная частотная характеристика будет иметь неопределенность при ω = 0. Амплитуда становиться бесконечной. Годограф получается с бесконечной ветвью. Но если годограф мысленно дополнить зеркально отраженной ветвью и провести полуокружность бесконечно большого радиуса так, чтобы она пересекала положительную часть оси абсцисс, то такой прием позволяет использовать первую формулировку критерия Найквиста.

3. Разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые «замыкаются» на бесконечности. Тогда, если точка –1 на оси абсцисс оказалась вне замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 5.12 и 5.13.

U

V

- 1

U

V

- 1

Рис. 5.12. Устойчивость

Рис. 5.13. Неустойчивость

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку –1 оси абсцисс. Аналитически это условие можно записать в виде

.

Кривые Найквиста наглядно показывают влияние коэффициента усиления на устойчивость системы. У комплексной частотной характеристики, в которой коэффициент усиления увеличивают, размеры и положение годографа меняются относительно точки с координатами (–1,0). Допустим, имеется кривая 1, отвечающая границе устойчивости, рис.5.14. Предельный коэффициент усиления k = k ^*. Кривая 2, для которой k < k ^*, отвечает устойчивой системе, кривая 3, для которой k > k ^* - неустойчивой. Увеличение коэффициента усиления вызывает смещение влево точки пересечения кривой 2 с отрицательной частью действительной оси. То есть, может перевести систему из устойчивого состояния в неустойчивое.

V

-1

Рис. 5.14. Влияние коэффициентов усиления на расположение

кривых Найквиста:

1 - k = k ^*, 2 - k < k ^*, 3 – k > k ^*

Система, имеющая годограф, изображенный на рис. 5.14, с увеличением коэффициента усиления способна реализовать два состояния: «устойчивость – неустойчивость». Для более сложных кривых число состояний может увеличиваться.

V

U

- 1

V

U

- 1

Рис. 5.15. В системе возможны два перехода «устойчивость – неустойчивость»

Рис. 5.16. В системе возможны три перехода «устойчивость – неустойчивость»

Например, у кривой с одним максимумом в отрицательной полуплоскости (рис. 5.15) по мере увеличения коэффициента усиления устойчивое состояние сменяется неустойчивым, а затем снова устойчивым. У кривой с двумя максимумами (рис.5.16), при увеличении коэффициента усиления, реализуются состояния: «устойчивость – неустойчивость – устойчивость – неустойчивость». Система может устойчиво работать в двух разных интервалах изменения коэффициента усиления. Это свойство не обнаруживается применением критерия Гурвица или Михайлова.

Коэффициент усиления на границе устойчивости рассчитывают, приравнивая комплексную частотную характеристику минус единице:

.

Дата добавления: 2014-01-05