Выделение области

Пример 5.10.

Дана передаточная функция разомкнутой системы:

.

Полагая k = 2 проверить с помощью критерия Найквиста, будет ли устойчивой замкнутая система?

Предварительно выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица: система устойчива.

Найдем комплексную частотную характеристику разомкнутой системы:

.

Выделим действительный и мнимый частотные полиномы:

,

.

Построим годограф разомкнутой системы.

По условию V (ω) = 0 находим частоты пересечения годографом действительной оси и соответствующие значения U (ω):

V (ω) = 0, 4ω – ω³ = 0, = 0, = 2,

U (0) = 2. U (2) = – 0,18.

Полагая U (ω) = 0, находим частоту пересечения годографом мнимой оси и соответствующее значение V (ω):

U (ω) = 0, 1 – 3ω² = 0,,

V (0,58) = – 0,94.

Для ω = 1 получаем U (1) = – 0,3, V (1) = – 0,46.

При ω = ∞ U (∞) = 0, V (∞) = 0.

Вид годографа показан на рис. 5.17.

V

U

-1

-1

Рис. 5.17. Годограф по условиям примера 5.10

Разомкнутая система устойчивая, годограф не охватывает точку (–1,0), значит, замкнутая система тоже устойчивая.

Пример 5.11.

Система на границе устойчивости имеет передаточную функцию

.

Как зависит предельный коэффициент усиления k ^* от параметров M и N?

Найдем комплексную частотную характеристику

.

На границе устойчивости. Приравнивая по отдельности действительную и мнимую части этого уравнения, получаем:

,

.

Корни второго уравнения: и. Границе отвечает ω₂.

Подставляя ω₂ в первое уравнение, получаем:

.

В примере 5.10 М = 3, N = 4, k ^* = 11. Для такого коэффициента усиления U (2) = – 1. То есть, годограф проходит через точку – 1 оси абсцисс.

Пример 5.12.

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Выяснить устойчивость замкнутой системы.

Проверка по критерию Гурвица показывает, что разомкнутая система неустойчивая.

Запишем частотные характеристики:

.

,.

Точек пересечения годографа с осью абсцисс две: при и при = ∞.

,	U (0) = – 2,	V (0) = 0.
∞,	U (∞) = 0,	V (∞) = 0.

Другие точки годографа уточняют вид кривой.

,	U (1) = – 1,6,	V (1) = – 0,8.
,	U (2) = – 1,	V (2) = – 1.
,	U (6) = – 0,2,	V (6) = – 0,6.

Кривая располагается в третьем квадранте.

Годограф показан на рис. 5.18.

U

V

–1

– 1

–2

Рис. 5.18. Устойчивость для m = 1

Годограф охватывает в положительном направлении точку – 1 наполовину, m /2 = 1/2 раз. Критерий Найквиста удовлетворяется – замкнутая система устойчивая.

Вывод подтверждается, если записать передаточную функцию замкнутой системы:

.

По характеристическому полиному сразу видно, что корень отрицательный.

устойчивости D – разбиением

Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть – дополняющая первую - обеспечивает неустойчивые решения.

Идея метода D - разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются.

Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования:

. (2.7.)

Пусть все коэффициенты заданы, кроме и. Предположим, что уравнение (2.7.) имеет в плоскости корней k корней слева от мнимой оси и n - k корней справа для каких–то значений и, рис. 5.19.

ω

σ

n

n - k

a ₀

a _n

D (k, n-k)

Рис. 5.19. Плоскость корней

Рис 5.20. Плоскость коэффициентов

Будем менять значения коэффициентов и и находить корни. Возможно, для некоторой совокупности значений и количество корней слева и справа от мнимой оси не меняется. Т. е. соотношение между k и n - k остается постоянным. Тогда как совокупность других значений коэффициентов и меняет соотношение между k и n–k. Можно указать границу, отделяющую область постоянного отношения k и n – k. Эту область обозначают D (k, n–k), рис. 5.20.

Например, для характеристического уравнения четвертой степени

в плоскости коэффициентов могут быть следующие области:

D (0,4), D (1,3), D (2,2), D (3,1), D (4,0).

Всего n + 1 областей.

Из всех D (k, n–k) областью устойчивости будет только одна: D (n, 0). В ней все корни, располагающиеся слева от мнимой оси, имеют отрицательную действительную часть. Мнимая ось – граница устойчивости в плоскости корней. В плоскости коэффициентов кривая, отделяющая область устойчивости от области неустойчивости, будет ничем иным, как преобразованной мнимой осью.

5.5.1. D – разбиение по одному параметру

Изучение метода D - разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра. При заданных значениях других параметров. Обозначим параметр символом λ. Это может быть коэффициент характеристического уравнения, или сочетание коэффициентов. Например, в уравнении

можно назвать параметром.

Допустим, сделан выбор. Тогда уравнение примет вид

.

Полином, который умножается на λ, обозначим Q (p), остальную часть S (p). Уравнение примет общий вид:

. (5.4)

Представив уравнение (5.4) в виде

, (5.5)

получаем λ как функцию переменной p.

Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем

p = j ω. Тогда λ (p) становится комплексным числом:

. (5.6)

Если теперь задавать ω от 0 до + ∞, вектор λ (j ω) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости (U, V). Эта кривая отображает на плоскость U, V мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой k корней, по другую n– k.

Если задавать ω от 0 до – ∞, получится зеркальное отображение кривой для + ω. Поэтому кривую рассчитывают для положительных ω, а затем дополняют зеркальным отображением относительно действительной оси.

Чтобы разобраться, по какую сторону находятся k корней, область D - разбиения выделяется штриховкой. Соображения следующие.

При движении по мнимой оси в плоскости корней (рис. 5.21) от ω = – ∞ до ω = + ∞ та область, в которой находятся все корни устойчивости будет все время слева. Она показана штриховкой.

р

σ

ω® + ∞

ω® – ∞

Корни устойчивости

+ ∞

– ∞

ω =0

V

U

ω

Рис. 5.21. Плоскость корней

Рис. 5.22. Кривые D -разбиения со штриховкой

Требуется, чтобы и в плоскости (U, V) область устойчивости находилась слева от кривой D-разбиения, если двигаться от – ∞ к + ∞. Левая сторона кривой штрихуется.

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рисунке 5.22. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Параметр λ по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь: от точки 1 до точки 2 на рис. 5.22.

Пример 5.13

Дано характеристическое уравнение:

.

Пусть параметром будет λ, одно из значений которого λ=1 проставлено в уравнении. Надо найти, в каком интервале изменений λ характеристическое уравнение отвечает устойчивой системе автоматического регулирования.

Из уравнения:

выделим:. Полагая, находим:

,

,

Полагая V (ω) = 0, найдем частоты и точки пересечения кривой с осью абсцисс: ω₁ = 0, U (0) = 0, ω₂ = 1, U (1) = 1. Неограниченно увеличивая ω выясним, что U ® ∞ и V ® ∞, кривая уходит в бесконечность в верхней правой полуплоскости. В интервале 0 < ω < 1 U < 1 и V < 0. Для промежуточных значений U и V ход кривой уточняется заданием соответствующих частот. По совокупности данных строится кривая D -разбиения для положительных частот и дополняется зеркальным отображением. Наносится штриховка слева при движении по кривой от – ∞ к + ∞.

Результат показан на рис. 5.23. Интервал устойчивых значений λ есть отрезок действительной оси от 0 до 1.

Контрольная проверка по критерию Гурвица для λ = 0,5.

ω ®+∞

V

U

–1

ω® –∞

Рис. 5.23. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.13

Записываем характеристическое уравнение:

.

Коэффициенты: a ₀ = 1, a ₁ = 1, a ₂ = 1, a ₃ = 0,5. Действительно, a ₁ a ₂ – a ₀ a ₃ > 0, система устойчива.

Пример 5.14.

Дано характеристическое уравнение вида:

.

Требуется найти значения Т, при которых система будет устойчивой.

Назначив Т параметром, выделим λ:

Полагая получаем:

Запишем действительную и мнимую части:

Анализ формул показывает:

- при ω = 0 U = ∞, V = ∞;

- при ω = 1 U = 1, V = 0; кривая V (U) пересекает действительную ось;

- при ω = ∞ U = 0, V = – ∞;

Кривая начинается в + ∞, пересекает ось абсцисс и неограниченно приближается к мнимой оси, уходя в - ∞.

Для уточнения хода кривой V (U) можно взять точки:

ω = 0,5, U = 4, V = 1,5.

ω = 2, U = 0,25, V = – 1,5;

, U = 0,5 V = – 0,7;

ω = 0,82, U = 1,5, V = – 0,4.

Построив на плоскости (U, V) кривую для положительных частот, отображаем ее зеркально относительно действительной оси и получаем кривую для отрицательных частот, рис. 5.24. Нанеся штриховку, получаем область устойчивости. Устойчивость системы обеспечивают те значения параметра λ, которые располагаются на отрезке действительной оси от 1 до ∞. Контрольная проверка по критерию Гурвица подтверждает вывод.

ω® – ∞

V

U

-1

ω® + ∞

ω ® 0

ω ® 0

-0,5

0,5

Рис. 5.24. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.14

Пример 5.15.

Дано характеристическое уравнение вида

.

Требуется найти интервал значений параметра λ, при которых САР будет устойчивой.

Записав

и положив p = j ω, получаем комплексный параметр λ в виде

.

Выделяем действительную и мнимую части:

.

Задаем ω и рассчитываем U и V для построения кривой V (U):

ω	U	V
	∞	– ∞
2,36		– 6,7
3,16
	3,1	1,9
		2,4
5,45	1,68	2,44
	1,4	2,4
	0,5	1,8
∞

Построив кривую для положительных ω, дополняем ее зеркально отображенной (для отрицательных ω). Результат показан на рис. 5.25.

ω = + ∞

V

U

ω = – ∞

ω = – 0

ω = + 0

- 2

Рис. 5.25. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.15

Вывод: САР устойчива при значениях λ, принадлежащих интервалу 0 < λ < 5. Границе устойчивости отвечают λ = 0 и λ = 5.

Контрольная проверка по критерию Гурвица: все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, определитель a ₁ a ₂ - a ₀ a ₃ > 0.

Дата добавления: 2014-01-05