Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Выделение области

Пример 5.10.

Дана передаточная функция разомкнутой системы:

.

Полагая k = 2 проверить с помощью критерия Найквиста, будет ли устойчивой замкнутая система?

 

Предварительно выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица: система устойчива.

Найдем комплексную частотную характеристику разомкнутой системы:

.

Выделим действительный и мнимый частотные полиномы:

,

.

Построим годограф разомкнутой системы.

По условию V (ω) = 0 находим частоты пересечения годографом действительной оси и соответствующие значения U (ω):

V (ω) = 0, 4ω ω3 = 0, = 0, = 2,

U (0) = 2. U (2) = – 0,18.

Полагая U (ω) = 0, находим частоту пересечения годографом мнимой оси и соответствующее значение V (ω):

U (ω) = 0, 1 – 3ω2 = 0,,

V (0,58) = – 0,94.

Для ω = 1 получаем U (1) = – 0,3, V (1) = – 0,46.

При ω = ∞ U (∞) = 0, V (∞) = 0.

Вид годографа показан на рис. 5.17.

 

V
U
-1
 
-1
 

 

Рис. 5.17. Годограф по условиям примера 5.10

 

Разомкнутая система устойчивая, годограф не охватывает точку (–1,0), значит, замкнутая система тоже устойчивая.

 

 
Пример 5.11.

Система на границе устойчивости имеет передаточную функцию

.

Как зависит предельный коэффициент усиления k * от параметров M и N?

 

Найдем комплексную частотную характеристику

.

На границе устойчивости. Приравнивая по отдельности действительную и мнимую части этого уравнения, получаем:

,

.

Корни второго уравнения: и. Границе отвечает ω2.

Подставляя ω2 в первое уравнение, получаем:

.

В примере 5.10 М = 3, N = 4, k * = 11. Для такого коэффициента усиления U (2) = – 1. То есть, годограф проходит через точку – 1 оси абсцисс.

 

 
Пример 5.12.

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Выяснить устойчивость замкнутой системы.

 

Проверка по критерию Гурвица показывает, что разомкнутая система неустойчивая.

Запишем частотные характеристики:

.

,.

Точек пересечения годографа с осью абсцисс две: при и при = ∞.

 

, U (0) = – 2, V (0) = 0.
∞, U (∞) = 0, V (∞) = 0.

 

Другие точки годографа уточняют вид кривой.

 

, U (1) = – 1,6, V (1) = – 0,8.
, U (2) = – 1, V (2) = – 1.
, U (6) = – 0,2, V (6) = – 0,6.

 

Кривая располагается в третьем квадранте.

Годограф показан на рис. 5.18.

 

U
V
–1
– 1
–2
 

 

Рис. 5.18. Устойчивость для m = 1

 

Годограф охватывает в положительном направлении точку – 1 наполовину, m /2 = 1/2 раз. Критерий Найквиста удовлетворяется – замкнутая система устойчивая.

Вывод подтверждается, если записать передаточную функцию замкнутой системы:

.

По характеристическому полиному сразу видно, что корень отрицательный.

 

 

устойчивости D – разбиением

Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть – дополняющая первую - обеспечивает неустойчивые решения.

Идея метода D - разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются.

Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования:

. (2.7.)

Пусть все коэффициенты заданы, кроме и. Предположим, что уравнение (2.7.) имеет в плоскости корней k корней слева от мнимой оси и n - k корней справа для каких–то значений и, рис. 5.19.

 

ω
σ
 
n
n - k
 
a 0
a n
D (k, n-k)

 

Рис. 5.19. Плоскость корней Рис 5.20. Плоскость коэффициентов

 

Будем менять значения коэффициентов и и находить корни. Возможно, для некоторой совокупности значений и количество корней слева и справа от мнимой оси не меняется. Т. е. соотношение между k и n - k остается постоянным. Тогда как совокупность других значений коэффициентов и меняет соотношение между k и n–k. Можно указать границу, отделяющую область постоянного отношения k и n k. Эту область обозначают D (k, n–k), рис. 5.20.

Например, для характеристического уравнения четвертой степени

 

в плоскости коэффициентов могут быть следующие области:

D (0,4), D (1,3), D (2,2), D (3,1), D (4,0).

Всего n + 1 областей.

Из всех D (k, n–k) областью устойчивости будет только одна: D (n, 0). В ней все корни, располагающиеся слева от мнимой оси, имеют отрицательную действительную часть. Мнимая ось – граница устойчивости в плоскости корней. В плоскости коэффициентов кривая, отделяющая область устойчивости от области неустойчивости, будет ничем иным, как преобразованной мнимой осью.

 

5.5.1. D – разбиение по одному параметру

 

Изучение метода D - разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра. При заданных значениях других параметров. Обозначим параметр символом λ. Это может быть коэффициент характеристического уравнения, или сочетание коэффициентов. Например, в уравнении

 

можно назвать параметром.

Допустим, сделан выбор. Тогда уравнение примет вид

.

Полином, который умножается на λ, обозначим Q (p), остальную часть S (p). Уравнение примет общий вид:

. (5.4)

Представив уравнение (5.4) в виде

, (5.5)

получаем λ как функцию переменной p.

Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем

p = j ω. Тогда λ (p) становится комплексным числом:

. (5.6)

Если теперь задавать ω от 0 до + ∞, вектор λ (j ω) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости (U, V). Эта кривая отображает на плоскость U, V мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой k корней, по другую n– k.

 

Если задавать ω от 0 до – ∞, получится зеркальное отображение кривой для + ω. Поэтому кривую рассчитывают для положительных ω, а затем дополняют зеркальным отображением относительно действительной оси.

Чтобы разобраться, по какую сторону находятся k корней, область D - разбиения выделяется штриховкой. Соображения следующие.

При движении по мнимой оси в плоскости корней (рис. 5.21) от ω = – ∞ до ω = + ∞ та область, в которой находятся все корни устойчивости будет все время слева. Она показана штриховкой.

 

р
σ
ω® + ∞
ω® – ∞
Корни устойчивости
+ ∞
– ∞
 
 
 
ω =0
V
U
ω

 

Рис. 5.21. Плоскость корней Рис. 5.22. Кривые D -разбиения со штриховкой

 

Требуется, чтобы и в плоскости (U, V) область устойчивости находилась слева от кривой D-разбиения, если двигаться от – ∞ к + ∞. Левая сторона кривой штрихуется.

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рисунке 5.22. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Параметр λ по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь: от точки 1 до точки 2 на рис. 5.22.

 

 

 
Пример 5.13

Дано характеристическое уравнение:

.

Пусть параметром будет λ, одно из значений которого λ=1 проставлено в уравнении. Надо найти, в каком интервале изменений λ характеристическое уравнение отвечает устойчивой системе автоматического регулирования.

 

Из уравнения:

 

выделим:. Полагая, находим:

,

,

 

Полагая V (ω) = 0, найдем частоты и точки пересечения кривой с осью абсцисс: ω1 = 0, U (0) = 0, ω2 = 1, U (1) = 1. Неограниченно увеличивая ω выясним, что U ® ∞ и V ® ∞, кривая уходит в бесконечность в верхней правой полуплоскости. В интервале 0 < ω < 1 U < 1 и V < 0. Для промежуточных значений U и V ход кривой уточняется заданием соответствующих частот. По совокупности данных строится кривая D -разбиения для положительных частот и дополняется зеркальным отображением. Наносится штриховка слева при движении по кривой от – ∞ к + ∞.

Результат показан на рис. 5.23. Интервал устойчивых значений λ есть отрезок действительной оси от 0 до 1.

Контрольная проверка по критерию Гурвица для λ = 0,5.

 

ω ®+∞
V
U
–1
ω® –∞
 

 

Рис. 5.23. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.13

 

Записываем характеристическое уравнение:

.

Коэффициенты: a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = 0,5. Действительно, a 1 a 2 – a 0 a 3 > 0, система устойчива.

 

 
Пример 5.14.

Дано характеристическое уравнение вида:

.

Требуется найти значения Т, при которых система будет устойчивой.

 

Назначив Т параметром, выделим λ:

 

Полагая получаем:

 

Запишем действительную и мнимую части:

 

Анализ формул показывает:

- при ω = 0 U = ∞, V = ∞;

- при ω = 1 U = 1, V = 0; кривая V (U) пересекает действительную ось;

- при ω = ∞ U = 0, V = – ∞;

Кривая начинается в + ∞, пересекает ось абсцисс и неограниченно приближается к мнимой оси, уходя в - ∞.

Для уточнения хода кривой V (U) можно взять точки:

ω = 0,5, U = 4, V = 1,5.

ω = 2, U = 0,25, V = – 1,5;

, U = 0,5 V = – 0,7;

ω = 0,82, U = 1,5, V = – 0,4.

Построив на плоскости (U, V) кривую для положительных частот, отображаем ее зеркально относительно действительной оси и получаем кривую для отрицательных частот, рис. 5.24. Нанеся штриховку, получаем область устойчивости. Устойчивость системы обеспечивают те значения параметра λ, которые располагаются на отрезке действительной оси от 1 до ∞. Контрольная проверка по критерию Гурвица подтверждает вывод.

 

ω® – ∞
V
U
-1
ω® +
 
ω ® 0
ω ® 0
-0,5
0,5
 
 
 

 

Рис. 5.24. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.14

 

 
Пример 5.15.

Дано характеристическое уравнение вида

.

Требуется найти интервал значений параметра λ, при которых САР будет устойчивой.

 

Записав

 

и положив p = j ω, получаем комплексный параметр λ в виде

.

Выделяем действительную и мнимую части:

.

 

Задаем ω и рассчитываем U и V для построения кривой V (U):

ω U V
  – ∞
2,36   – 6,7
3,16    
  3,1 1,9
    2,4
5,45 1,68 2,44
  1,4 2,4
  0,5 1,8
   

 

Построив кривую для положительных ω, дополняем ее зеркально отображенной (для отрицательных ω). Результат показан на рис. 5.25.

 

ω = + ∞
 
V
U
ω = – ∞
ω = – 0
ω = + 0
 
- 2
 

 

Рис. 5.25. Кривые D- разбиения по условиям примера 5.15

 

 

Вывод: САР устойчива при значениях λ, принадлежащих интервалу 0 < λ < 5. Границе устойчивости отвечают λ = 0 и λ = 5.

Контрольная проверка по критерию Гурвица: все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, определитель a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Критерий Найквиста. Находим передаточную функцию замкнутой системы | Пример 5.16
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 463; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.088 сек.