Уравнение моментов количества движения

Из теоретической механики известно, что равнодействующая всех сил R, действующих на тело массой m_T и скоростью с_T, отстоящее от оси вращения на расстоянии r, создает крутящий момент относительно оси О-О (рисунок 2.20):

2.6.1

Рисунок 2.20 – К пояснению понятия момента количества движения

Крутящий момент равен изменению момента количества движения в единицу времени:

2.6.2

Рассмотрим участок стационарного потока рабочего тела в канале межлопаточном произвольной формы (рисунок 2.3). Его форма, а также все параметры потока на входе и выходе известны. Рассматриваемый участок разделяется на бесконечное число элементарных струек. Каждая из них представляет собой цилиндр с криволинейной образующей, поперечное сечение которого настолько мало, что значения параметров потока в любой его точке можно считать одним и тем же.

Рассмотрим течение рабочего тела через любую случайно выбранную элементарную струйку. В начальный момент времени выделенный объем находился в положении 1-2. Через бесконечно малый отрезок времени dt он переместиться в положение 3-4 (рисунок 2.21). Отрезок времени dt принимается настолько малым, что параметры потока в каждом сечении в его начальный и конечный момент можно считать неизменными (с_1u= с_3u; с_2u= с_4u; r₂=r₄; r₁=r₃ и т.д.).

Рисунок 2.21 – Схема течения в канале произвольной формы

Равнодействующая сил, действующая на рассматриваемую струйку, относительно оси О-О создает крутящий момент

Как видно из рисунка 2.21, область 3-2 является общей для начального и конечного положения рабочего тела. Поэтому рассматриваемое движение может быть представлено следующим образом: в неизменный в течении dt времени объем 3-2 втекает объем 1-3 и вытекает 2-4. То есть, изменение момента количества движения рассматриваемой струйки относительно оси О-О за время dt равно разности моментов количества движения масс 1-3 и 2-4 относительно той же оси:

2.6.3

Поскольку рассматривается установившееся движение, то. Учитывая, что отношение массы элемента ко времени равно расходу рабочего тела через элементарную струйку окончательно имеем:

2.6.4

Запишем для всех струек уравнения моментов количества движения и сложим между собой. Если для всех элементарных струек одинаковы значения и, а на выходе одинаковы и, тогда получим:

2.6.5

Умножим обе части последнего уравнения на величину угловой скорости w, затем разделим обе части на расход рабочего тела G.

2.6.6

Левая часть уравнения представляет собой удельную работу на окружности колеса элементарного лопаточного венца:

Кроме того, учитывая, что произведение угловой скорости w на радиус r равно окружной скорости, окончательно получим:

2.6.7а

Данное уравнение называется уравнением моментов количества движения применительно к лопаточным машинам. Оно было также выведено Л. Эйлером.

Это уравнение устанавливает связь работы, передаваемой лопатками потоку, с кинематическими параметрами потока.

Для осевых лопаточных машин. Поэтому уравнение примет вид:

2.6.7б

Запишем это уравнение применительно к компрессору и турбине. Форма записи для компрессора полностью совпадает с канонической формой (2.6.7). В турбине же работа совершается газом по вращению РК, поэтому знаки в правой части меняются на противоположные ().

Окончательно имеем для компрессора:

;

2.6.8к

для турбины:

2.6.8т

Сопоставляя уравнения 2.6.8к и 2.6.8т можно сделать выводу о том, что компрессор и турбина являются обращенными машинами, поскольку уравнения описывающие процессы в них имеют одинаковую форму, но имеют разные знаки.

Полученные уравнения имеют большое значение в теории турбомашин. Несомненным достоинством уравнения моментов количества движения является то, что его использование не требует знания распределения давления по поверхности лопаток. Надо только знать кинематические параметры на входе и выходе из РК.

Дата добавления: 2014-01-05