Математическое описание динамики САР

Рис. 1.7. Функциональная схема САР

На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет характеризоваться следующими параметрами:

y(t) - управляемый параметр; u(t) - управляющее воздействие; f(t) - возмущающее воздействие; e(t) – рассогласование сигналов; g(t) - задающее воздействие. Значения этих параметров в моменты времени t₁, t₂,... t_k дают полную информацию о состоянии САР. Пусть состояние ОР характеризуется функцией G(u,f,y), а регулятора - функцией Q(e,u), тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой уравнений вида [1]:

y (t) = G [ y^(1), y^(2),..., y^(n), f, f^(1),..., f^(l), u, u^(1),...,u^(q)]	(1.1)
u (t) = Q [ e, e ^(1),... e ^(n), u^(1),..., u^(q)]	(1.2)
e (t) = g (t) - y (t)	(1.3)

Переменные u и e - внутрение, математически их можно выразить через внешние переменные. Следовательно, можно записать:

y = F [ y^(1),...y^(n), f, f^(1),...f^(l), g, g^(1),...g^(m) ]

(1.4)

Здесь под y⁽ⁱ⁾, f⁽ⁱ⁾, g⁽¹⁾ понимаются соответствующие производные. Уравнение (1.4) называется уравнением динамики. Оно описывает переходные процессы, происходящие в системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы вычислительного плана особенно, если уравнения нелинейные или высокого порядка. В таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру.

Если F - аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия. В нашем случае точка равновесия есть точка, характеризующая установившееся состояние. Чем меньше отклонение от состояния равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного уравнения линейным. Допустим, что y(t) является функцией нелинейной, а F - аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики. Такое уравнение можно получить из уравнения (1.4), приравняв производные по времени к нулю:

y0 = F (0,..., 0, f0, 0,...0, g0, 0,...,0).

Пусть воздействия получили приращения и приняли вид:

g = g0 + D g, f = f0 + D f.

Тогда в системе возникает переходной процесс:

y = y0 + D y.

Представим функцию F рядом Тейлора в окрестности точки равновесия. Оставим в разложении только линейные члены, учитывая их весомость по сравнению с откидываемыми малыми величинами:

y = F (0,...,0,f0,0,...,0,g0,0,...,0) + y + g + f +...

Далее, учтем, что y₀ = F (0,... 0, f₀, 0,...0,g₀, 0,...0) и отметим, что в уравнение динамики входят только отклонения, но не сами переменные, кроме того

, поскольку = const.

Поэтому символ приращения D можно опустить. Введем коэффициенты а, c, b равные частным производным функции F по g, f, y соответственно в точке равновесия. Перепишем уравнение динамики с учетом введенных переменных, получим:

(1.5)

Уравнение (1.5) является линейным с постоянными коэффициентами. Оно называется уравнением динамики в первом приближении. По виду уравнения динамики различают модели, описываемые алгебраическими уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, уравнениями в конечных разностях. По виду коэффициентов уравнения различают модели с постоянными (детерминированными, стационарными) коэффициентами, с переменными (недетерминированными, нестационарными) параметрами, с квазистационарными параметрами, то есть стационарными в очень малых интервалах времени. По виду временных функций, различают модели непрерывные, дискретные (цифровые), дискретно-непрерывные. Стационарные и нестационарные системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Нестационарные системы характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без изменения формы их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и меняют форму. Если входные сигналы в автоматических системах могут действовать непрерывно в течение всего времени работы системы, то такая система называется непрерывной. Любая система управления, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, является стационарной линейной системой. В заключение отметим, что системы управления по виду уравнений динамики разделяются на стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные, многомерные и одномерные, непрерывные и дискретные.

Дата добавления: 2014-01-05