Декомпозиція систем і простір станів

Як правило, під час побудови моделі система спрощується, тобто провадиться її декомпозиція, або розкладення на підсистеми. Якщо систему задати множиною відношень n -го порядку R [ х ₁, х ₂,..., х_n ], то загальний метод декомпозиції можна описати за допомогою операції добутку відношень. Відношення R є добутком відношень R ₁ і R ₂, якщо виконується умова

де X, Y, Z — деякі множини.

Завдання дослідника полягає у визначенні відношень R ₁ і R ₂. Якщо ці відношення знайдені, то систему можна подати як сукупність двох підсистем:

R ₁[ х ₁, х ₂,..., х_j, Z ] і R ₂[ Z, х_{j +1}, х _{j +2},..., х_n ], де x_j Î X, j = 1, 2, …, n.

У літературі [42] зазначено, що відношення n -го порядку можна розкласти на n – 2 тримісних відношення. З огляду на дослідження систем найважливішим є наслідок цієї теореми, пов'язаний з уведенням поняття стану системи. Розглянемо систему, яка задається відношенням

(1.4)

Другий елемент відношення, X (t), є функцією часу, тобто деякою множиною. Припустимо, що множина X (t) скінченна і містить n елементів.

Згідно з наслідком теореми відношення (1.4) має порядок n + 1 і не може бути розкладене на відношення нижче третього порядку. Нехай елементи X (t) упорядковані в часі:

Тоді відношення (1.4) має вигляд

Розглянемо підмножину всіх елементів x (t) з індексом, більшим за j:

Відношення (1.4) буде еквівалентне відношенню

де складається з членів x (t), які залишились:

Якщо подати відношення R у вигляді добутку відношень R ₁ і R ₂, то система складатиметься з двох підсистем:

і

(1.5)

Терм Y залежить тільки від проміжного терму і не залежить від елементів x (t_j), в яких індекс менший за j. Можна стверджувати, що елемент описує стан системи. Якщо систему поділено на дві відповідно до виразу (1.5), то терм Y залежить тільки від стану системи в момент та всіх майбутніх елементів х і не залежить від усіх попередніх елементів. Стан системи в момент часу t називається початковим і позначається через z ₀(t). Наведені міркування правильні й для нескінченних множин.

Таким чином, під час моделювання системи або процесу немає необхідності запам'ятовувати всі стани системи до моменту часу t, тобто алгоритм моделювання «забуває», що було раніше. Якщо реалізувати алгоритм за допомогою комп'ютера, то не потрібно зберігати всі стани в пам'яті. Винятком є необхідність анімаційного або графічного відтворення станів системи в часі та можливість її «програвання» у прямому й зворотному напрямках.

Якщо потрібно зменшити порядок відношення системи шляхом усунення залежності від будь-яких елементів певної підмножини X^r, то нове відношення має бути хоча б тримісним, три терми його є входами X, виходами Y і станами Z. Рівняння

(1.6)

будемо називати рівнянням станів системи, а функцію z — перехідною функцією станів системи. Таким чином, вхідні впливи X перетворюються у виходи системи Y за допомогою рівняння станів (1.6), і саму систему S можна подати у вигляді «чорного ящика», зображеного на рис. 1.8, де зовнішні відношення пов'язують елементи системи із зовнішнім середовищем за допомогою входів системи. Під час проведення досліджень системи можна впливати на її входи та спостерігати за її виходами. Вхідні змінні, які дослідник може змінювати, проводячи експерименти, називаються змінними, якими керують, а ті, що неможливо змінювати, - змінними, за якими спостерігають. Під час моделювання звичайно можна змінювати всі вхідні змінні.

Рис. 1.8. Кібернетична модель системи

Розглядаючи простір станів, або фазовий простір, і зміни станів системи в часі, можна описати її поведінку (функціонування). Поняття стану вже давно є одним з найважливіших у техніці. У теорії систем стан системи визначається як точка фазового простору, який містить всю інформацію про передісторію системи, суттєву для визначення її поведінки в майбутньому. Через стани системи можна пов'язати виходи системи з її входами.

У разі введення множини T як певної впорядкованої множини позитивних дійсних чисел t, які визначають плин часу, пару елементів , де t Î Т, z Î Z, називають станом або фазою системи S, а множину Т ´ Z — простором станів або фазовим простором системи, де ´ — декартовий добуток. Перехідна функція z або її графік у просторі станів визначав поведінку системи або її траєкторію руху у фазовому просторі на певному проміжку часу t Î [ t, t). Поняття простору станів не повинне викликати труднощів. Можна уявити звичайний простір, в якому не три, а довільна кількість осей координат, а стан — це точка в цьому просторі, що характеризує об'єкт у поточний або довільний момент часу подібно тому, як координати звичайного простору характеризують просторове розташування. Під фазовим простором розуміється простір, в якому визначено не тільки статичні координати точки, координати її положення, але й міститься вся інформація, потрібна для визначення її поведінки в майбутньому.

Важливість поняття стану полягає в можливості, використовуючи його як деякий параметр, пов'язати з кожною вхідною змінною єдину вихідну змінну. Якщо зміна станів системи відбувається неперервно в часі, то динамічна система належить до класу неперервних систем. Якщо ж функцію (1.6) визначено на дискретній множині моментів часу t, то розглядають клас дискретних динамічних систем. В окремому випадку дискретні моменти часу можуть задаватись у момент настання деяких подій, які призводять до зміни станів системи. Отже, щоб відтворити функціонування системи або, іншими словами, її траєкторію у фазовому просторі, потрібно задати рівняння станів системи (1.6). Під час моделювання системи таке рівняння називають також функцією дії. Цю функцію можна задати в явному вигляді, наприклад за допомогою диференціального рівняння, або у вигляді алгоритму моделювання, який визначає стан системи в кожний момент часу t, або шляхом задания таблиці станів, як це виконується, наприклад, для дискретних автоматів.

Таким чином, процес, який під час моделювання системи описує її функціонування, визначається послідовністю станів, зв'язок між якими задається функцією дії та початковим станом системи. Отже, послідовність розташованих у порядку збільшення часу пар визначає процес і описує поведінку системи.

У разі побудови моделей динамічних систем ці системи описуються у вигляді множини деяких реалій (рис. 1.9), які можна описувати та моделювати за допомогою властивостей, що змінюють стани системи. Зміна станів системи викликає події, яким відповідають певні умови. Виникнення певних умов приводить до дій, які утворюють конкретні процеси.

Рис. 1.9. Схема опису динамічних систем

Процес можна також розглядати як послідовність взаємопов'язаних дій за умовами визначення початку і закінчення дії.

Дата добавления: 2014-01-05