Напряжения на наклонной площадке (формула Коши)

Понятие сплошной среды. Классификация сил

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

Металл состоит из совокупности атомов, упорядоченно расположенных в кристаллической решетке. То есть металл имеет, строго говоря, дискретное (прерывистое) строение. Так описывать поведение металла при деформации очень сложно. Поэтому применяют гипотезу сплошности -металл рассматривается как среда, заполняющая часть пространства сплошным образом.

То есть, используется понятие сплошная среда – это тело, которое деформируется упруго (обратимо) или пластически (необратимо). Данная гипотеза позволяет применять законы и уравнения механики сплошных сред. В механике движение частиц металла описывается непрерывными функциями. Для их определения используется аппарат дифференциального и интегрального исчисления [11].

Плотность металла можно определить с помощью следующего выражения:

,

где - масса элементарного объема.

Силы, действующие на заготовку можно разделить на два вида: 1) объемные; 2) поверхностные.

Объемные силы – это силы, которые распределены по объему тела и действуют в каждой его точке. Величина этих сил пропорциональна массе или объему. Объемные силы – это силы взаимодействия деформируемого тела с полями. Пример объемной силы – вес. Это взаимодействие каждой точки тела с полем тяготения Земли. Другой пример – сила инерции.

В качестве характеристики таких сил используют плотность объемной силы:

,

где - главный вектор объемной силы. Размерность –.

Поверхностные силы – силы, пропорциональные площади или поверхности. Поверхностные силы возникают в результате взаимодействия тел.

В качестве характеристики поверхностной силы применяют напряжение. Для определения вектора напряжения в некоторой материальной точке М деформируемого тела V это тело мысленно разделим сечением, проходящим через точку М, на две части. Одна часть тела мысленно отбрасывается и ее действие на оставшуюся часть заменяется силой (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема, поясняющая понятие «напряжение»

Вектором напряжения, действующим в точке М некоторого сечения, проведенного через деформируемое тело, называют величину

.

Напряжение является плотностью поверхностной силы. Размерность - Па =; МПа.

Для примера определим напряжение при растяжении круглого стержня (растяжение равномерное без образования шейки). Величина растягивающей силы = 1000 Н. Диаметр стержня = 10 мм. Тогда площадь поперечного

сечения стержня (площадки, на которую действует напряжение). Вектор напряжения

Вектор напряжения всегда рассматривается действующим на определенную площадку.

1.2. Тензор напряжений

Если выделить точку тела и рассматривать площадку, проходящую через эту точку, то на ней будет действовать напряжение. Если рассмотреть другую площадку, проходящую через эту же точку, то напряжение на ней -. Напряжение на третьей площадке – и т.д. Совокупность напряжений на всех площадках, проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием.

Для того, чтобы задать напряженное состояние достаточно задать в точке три вектора напряжения на трех площадках. Пусть эти площадки совпадают с тремя координатными плоскостями xoy, xoz и yoz прямоугольной системы координат x, y, z.

Внутри деформируемого тела в окрестности рассматриваемой точки М выделим элементарный параллелепипед. На стороны параллелепипеда (площадки) действуют напряжения,,. Эти напряжения уравновешивают действие отброшенных частей тела. Напряженное состояние в точке М характеризуется тремя векторами,, (рис. 1.2).

Векторы удобнее заменить скалярными величинами – их проекциями на оси координат (i = x, y, z; j = x, y, z). Первый индекс (i) показывает направление нормали к площадке, на которую действует напряжение. Второй индекс (j) указывает координатную ось, на которую проецируется.

Величины являются проекциями векторов напряжений. При проекции обозначают,,,,,. Они действуют в плоскостях площадок и называются касательными напряжениями. При проекции обозначают,,. Они действуют перпендикулярно площадкам и называются нормальными напряжениями.

Рис. 1.2. Векторы напряжений и компоненты тензора напряжений,

действующие на координатных площадках

Напряженное состояние в точке характеризуется тензором напряжений. Это таблица, в которую записаны три проекции каждого из трех напряжений:

.

Столбцы тензора соответствуют проекциям векторов напряжений на координатные оси. Размерность - Па; МПа. Следует помнить, что 1. При записи выполняется правило циклической перестановки индексов: x → y → z→ x.

Правило знаков для нормальных напряжений,, - напряжения положительны (>0), если они способствуют увеличению размеров частицы, то есть являются растягивающими. Отрицательные напряжения (<0) способствуют уменьшению размеров частицы, то есть являются сжимающими [4].

Пусть задан тензор напряжений, то есть все его компоненты. Задано также положение в пространстве наклонной площадки ABC направляющими косинусами. Это косинусы углов между нормалью к площадке и осями координат:;; (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Напряжения на координатных плоскостях и наклонной площадке

Необходимо получить формулы для расчета напряжения, действующего на наклонной площадке АВС, через компоненты тензора напряжений, которые действую на координатных плоскостях. Напряжение можно выразить через проекции,,. Определим формулы, связывающие (i = x, y, z) с.

Проекции можно определить из условия равновесия тетраэдра, образованного наклонной площадкой АВС и координатными плоскостями xoy, xoz и yoz. На рис. 1.3 напряжения направлены в противоположные стороны от действия для того, чтобы указать, что тетраэдр находится в равновесии.

Когда тело находится в равновесии, то сумма проекций (на оси координат x, y, z) всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю:

.

Спроецируем все силы на ось х и приравняем их нулю. Чтобы найти силу нужно напряжение умножить на площадь. Введем обозначения: dS – площадь наклонной грани тетраэдра MABC, то есть площадь треугольника ABC;,

, - площади координатных площадок COB, AOC, AOB; – сила, приложенная к наклонной грани; – проекция этой силы на ось х. Тогда можно записать:

.

Из этого выражения следует первая формула в приведенной ниже системе:

. (1.1)

Вторая и третья формулы выводятся аналогично из рассмотрения суммы проекций сил соответственно на оси y и z.

С использованием тензорных индексов i и j формулы (1.1) коротко можно записать следующим образом:

. (1.2)

Формулы (1.1) и (1.2) для расчета напряжений на наклонной площадке называют также формулами Коши [5].

В формулах вида (1.2) с тензорными (немыми) индексами i и j если есть произведение и повторяющийся (одинаковый) индекс слева и справа от произведения, то при подробной записи вида (1.1) проводится суммирование по повторяющемуся индексу.

Из формул (1.1) и (1.2) следует важный вывод: пусть задан тензор напряжений, который представляет собой компоненты напряжений на трех взаимно перпендикулярных координатных площадках, проходящим через данную точку деформируемого тела. Тогда можно рассчитать напряжения на любой площадке, наклонной к координатным плоскостям и заданной направляющими косинусами. Таким образом, тензор полностью описывает напряженное состояние в точке деформированного тела.

Уравнения (1.1) и (1.2) дают проекции вектора напряжений. Найдем модуль напряжения (приведены разные виды записи формулы)

, (1.3)

, (i = x, y, z), (1.4)

, (i = x, y, z; j= x, y, z). (1.5)

Для определения нормальногонапряжения на наклонной площадке нужно спроецировать на нормаль. Для этого на нужно отдельно спроецировать,, и сложить (приведены разные виды записи формулы):

, (1.6)

, (1.7)

. (1.8)

Полное касательное напряжение:

. (1.9)

Пример. Задан тензор напряжений (компоненты заданы в МПа) и направляющие косинусы:

;;;.

Необходимо определить,,,. Для этого последовательно воспользуемся формулами (1.1), (1.3), (1.6) и (1.9):

МПа; МПа; МПа;

МПа; МПа;.

Дата добавления: 2014-01-05