Дифференциальные уравнения движения сплошной среды

(дифференциальные уравнения Коши)

В некоторый фиксированный момент времени рассмотрим окрестность произвольной точки М деформируемого тела. Окрестность имеет форму параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям. Центр параллелепипеда находится в точке М, длина его ребер равна;;. Напряженное состояние в точке М характеризуется компонентами тензора напряжения. Это составляющие векторов напряжений, действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку М и параллельных координатным плоскостям. На гранях параллелепипеда напряжения несколько отличаются от в точке М, так как грани отстоят от центра на расстояния;; (рис. 1.4).

На рис. 1.4 показано неоднородное поле напряжений. В случае, когда поле однородно напряжения на гранях одинаковы по модулю. Напряжения на противоположных гранях отличаются незначительно по модулю и противоположны по направлению.

Предположим, что напряжения являются гладкими функциями координат, то есть. Их можно разложить в ряд Тейлора. Для параллелепипеда с бесконечно малыми размерами существенную роль играют производные не выше первого порядка:

.

На параллелепипед действует также вектор удельной массовой (внутренней) силы (например, силы тяжести) и вектор ускорения.

Рис. 1.4. Напряжения, действующие на элементарный параллелепипед

Уравнение движения параллелепипеда вытекает из второго закона Ньютона:

,

где - сумма всех сил, действующих на параллелепипед; m – его масса; - ускорение. При составлении уравнения движения параллелепипеда распишем и m:

где - плотность; - объем параллелепипеда.

После раскрывания скобок и приведения подобных получим:

.

После сокращения на:

.

Последнее уравнение запишем в проекциях на координатные оси. При этом учтем, что проекции это, а и также можно разложить на соответствующие компоненты тензора напряжений [11]:

. (1.10)

По строкам в левой части уравнений (1.10) записаны напряжения, которые являются строки тензора напряжений.

Краткая запись уравнений (1.10) с применением индексов тензорного анализа:

, (i=x, y, z; j=x, y, z). (1.11)

Уравнения (1.10) и (1.11) называются дифференциальными уравнениями движения сплошной среды или дифференциальными уравнениями Коши.

В процессах ОМД, как правило, удельные массовые силы и ускорения малы и ими можно пренебречь. Тогда дифференциальные уравнения движения превращаются в дифференциальные уравнения равновесия [11]:

. (1.12)

Подробная запись уравнений (1.12):

. (1.13)

1.5. Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим уравнения движения, связанные с вращением. На гранях элементарного параллелепипеда (частицы) рассмотрим только касательные напряжения, так как они образуют пары сил, которые стараются повернуть параллелепипед вокруг осей, проходящих через центр. На рис. 1.5 покажем только те касательные напряжения, которые стараются повернуть параллелепипед вокруг оси z. Поле напряжений неоднородное. Используем разложение функции напряжений в ряд Тейлора.

Уравнение динамики вращательного движения вокруг оси z:

, (1.14)

где - момент силы; - момент инерции; - угловое ускорение.

Рис. 1.5. Касательные напряжения, действующие на гранях параллелепипеда

Известно, что

,

где - масса. Тогда подробная запись (1.14):

При записи предыдущего выражения учтено, что сила равна произведения напряжения на площадь грани, а момент равен произведению силы на плечо. Сокращаем это выражение на. Учитываем, что бесконечно малые и близки к нулю. Тогда членами уравнения с и (с учетом ограниченности и) можно пренебречь и окончательно получаем:

.

Рассмотрев аналогично вращение параллелепипеда относительно осей х и у получим:

,.

Таким образом, компоненты тензора напряжений

,

то есть закон парности касательных напряжений доказан.

Получили, что тензор напряжений симметричен относительно главной диагонали:

.

Говорят, что тензор имеет 6 существенных компонент.

Дата добавления: 2014-01-05