Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Первый замечательный предел

Читайте также:
  1. Агриппа Первый
  2. Массовые празднества и представления в период Революции и гражданской войны. Первый «красный» календарь.
  3. ОТ ДОНАУЧНОГО К НАУЧНОМУ ЭТАПУ. ПЕРВЫЙ ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ПРОЦЕСС ОБОРОТА ОБЩЕСТВЕННОГО КАПИТАЛА
  4. Первый абзацпресс-релиза.
  5. Первый аспект.
  6. Первый вопрос лекции: «Основные цели и задачи дисциплины».
  7. Первый вопрос: Кредит: сущность, формы и функции.
  8. Первый вопрос: Сущность финансов. Государственный бюджет.
  9. Первый закон Кирхгофа
  10. Первый закон Кирхгофа
  11. Первый закон Фарадея.



Отметим, что для выполнены неравенства смотри рисунок (доказательство неравенства в конце пункта).

 

Рис. 3.3

Откуда следуют неравенства

(1)

Далее = и из (1) получаем, что

Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:

.

.

Доказательство неравенства

 

Рис. 3.3.1

Дуга (на рис. 3.3.1 - это ) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной сверху. Например, , см. рис. 3.3.2.

 

Рис. 3.3.2

Для доказательства этого в угле проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: Откода следует, что длина хорды

,

Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса.

3.4.2. Второй замечательный предел.

Лемма 1.Если xn=a, {nk} - последовательность натуральных чисел такая, что nk=+¥ , то =a.

Отметим, что не обязана быть подпоследовательностью.

Доказательство: По условию xn=a , т.е.

"e$Ne"n>Ne : |xn - a|<e. (2)

Далее, используя второе условие nk=+¥ можно для Ne найти K"k >K: nk>Ne . Тогда из (2) будет следовать, что

| - a|<e, ч.т.д.

Лемма 2. Если xk=0, xk>0, то =e.

Доказательство: Так как xk=0 , то можно считать, что для всех справедливо : . Для целой части числа , nk= будут выполнены неравенства:

,

Поэтому

(3)

Пределы последовательностей , согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:

Переходя к пределу в (3) при ¥ , по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.

Следствие 1. .

Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {xk} типа Гейне при 0+0 будет выполнено =e и, следовательно, .

Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности {xk} типа Гейне при и, поэтому, .

Следствие 2. , . Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.

Следствие 3. , если -бесконечно малая при

Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа: ). Вычислить предел , где и

В этом случае будет существовать бесконечно малая при такая, что . Тогда и если мы найдем предел , то Отметим, что здесь может быть: - число, . -может быть числом или символом .

Пример. Вычислить предел .

.

=

= ~ .

= ~ ~

Поэтому ~ и . Откуда получаем, что .

Выпишем часто используемые основные эквивалентности

sin x ~ x, x®0,



~ ,

~ x, x®0.

Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.

Стандартные эквивалентности

3.5 Непрерывные функции

Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность.

3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве

Определение. Функция f(x), заданная на множестве X , содержащем некоторую проколотую окрестность точки x0, XÉ , называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке и.

Определение непрерывности в точке по Коши

Функция определена в точке и "e>0$d>0"xÎ X,|x - x0|<d: |f(x) - f(x0)|<e.

Определение непрерывности в точке по Гейне

Функция определена в точке и "xn, {xn}®x0, {xnX :f(xn)=f(x0).

Непрерывность справа:

Функция определена в точке и "e>0$d>0"xÎ X, x0 £ x < x0 +d: |f(x) - f(x0)|<e .

Непрерывность слева:

Функция определена в точке и "e>0$d>0"xÎ X, x0 -d < x £ x0 : |f(x) - f(x0)|<e .

Непрерывность на множестве:

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции:

f(x0)>0Þ$U(x0) : .

3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)¹0, то функция непрерывна в x0.

4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,

g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f(x) не является непрерывной в точке x0 , то x0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или , функция претерпевает разрыв в точке x0 .





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 159; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.224.102.26
Генерация страницы за: 0.009 сек.