Первый замечательный предел

Отметим, что для выполнены неравенства смотри рисунок (доказательство неравенства в конце пункта).

Рис. 3.3

Откуда следуют неравенства

(1)

Далее = и из (1) получаем, что

Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:

.

.

Доказательство неравенства

Рис. 3.3.1

Дуга (на рис. 3.3.1 - это) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной сверху. Например,, см. рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2

Для доказательства этого в угле проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: Откода следует, что длина хорды

,

Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса.

3.4.2. Второй замечательный предел.

Лемма 1.Если x_n=a, { n_k } - последовательность натуральных чисел такая, что n_k=+ ¥, то =a.

Отметим, что не обязана быть подпоследовательностью.

Доказательство: По условию x_n=a, т.е.

"e$ N_e " n>N _e: |x_n - a|< e. (2)

Далее, используя второе условие n_k=+¥ можно для N_e найти K " k >K: n_k>N_e. Тогда из (2) будет следовать, что

| - a|< e, ч.т.д.

Лемма 2. Если x_k= 0, x_k >0, то =e.

Доказательство: Так как x_k= 0, то можно считать, что для всех справедливо:. Для целой части числа, n_k= будут выполнены неравенства:

,

Поэтому

(3)

Пределы последовательностей, согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:

Переходя к пределу в (3) при k® ¥, по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.

Следствие 1..

Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности { x_k } типа Гейне при x® 0+0 будет выполнено =e и, следовательно,.

Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности { x_k } типа Гейне при и, поэтому,.

Следствие 2.,. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/ y.

Следствие 3., если -бесконечно малая при

Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа:). Вычислить предел, где и

В этом случае будет существовать бесконечно малая при такая, что. Тогда и если мы найдем предел, то Отметим, что здесь может быть: - число,. -может быть числом или символом.

Пример. Вычислить предел.

.

=

= ~.

= ~ ~

Поэтому ~ и. Откуда получаем, что.

Выпишем часто используемые основные эквивалентности

sin x ~ x, x® 0,

~,

~ x, x® 0.

Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.

Стандартные эквивалентности

3.5 Непрерывные функции

Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность.

3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве

Определение. Функция f(x), заданная на множестве X, содержащем некоторую проколотую окрестность точки x₀, XÉ, называется непрерывной в точке x₀, если она определена в точке и.

Определение непрерывности в точке по Коши

Функция определена в точке и "e>0$d>0" x Î X ,|x - x ₀ |< d: |f (x) - f (x ₀) |< e.

Определение непрерывности в точке по Гейне

Функция определена в точке и " x_n, { x_n } ®x ₀, { x_n }Ì X: f (x_n) =f (x ₀).

Непрерывность справа:

Функция определена в точке и "e>0$d>0" x Î X, x ₀ £ x < x ₀ + d: |f (x) - f (x ₀) |< e.

Непрерывность слева:

Функция определена в точке и "e>0$d>0" x Î X, x ₀ - d < x £ x ₀ : |f (x) - f (x ₀) |< e.

Непрерывность на множестве:

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

3.5. 2.Простейшие свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции:

f (x ₀)>0Þ$ U (x ₀):.

3) Если f (x) непрерывна в точке x ₀, g (x) непрерывна в x ₀, g (x ₀)¹0, то функция непрерывна в x ₀.

4) Функция |f (x) | непрерывна, если непрерывна f (x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если f (x) определена в окрестности x ₀ и непрерывна в x ₀,

g (x) определена в окрестности t ₀ и непрерывна в t ₀, g (t ₀) =x ₀. Тогда в некоторой окрестности тоски t ₀ определена суперпозиция F (t) =f (g (t)) и F (t) непрерывна в t_0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f (x) не является непрерывной в точке x ₀ , то x ₀ – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x ₀, или, функция претерпевает разрыв в точке x ₀ .

Дата добавления: 2014-01-05