Теорема Коши о конечных приращениях

Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема Ролля о нуле производной

Теорема. Если f непрерывна на [ a,b ], дифференцируема на (a,b) и f (a) =f (b). Тогда $ x ₀Î(a,b): f¢ (x ₀)=0.

Доказательство. Положим,

. Хотя бы одна из точек x ₁, x ₂ будет внутренней () и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

Рис. 4.14

Теорема. Если f непрерывна на [ a,b ], дифференцируема на (a,b), то

$xÎ(a,b): f (b) -f (a) =f¢ (x)(b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

. Для этой функции F (a) =F (b) = 0, и к ней применима теорема Ролля

.

Геометрическая интерпретация.

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика функции.

Рис. 4.15

Следствие 1. Если f непрерывна на [ a,b ], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x)º0 на (a,b), то f (x)ºconst.

Применяя теорему к произвольному отрезку [ a,x ], где x произвольная фиксированная точка, получим f (x) - f (a) =f¢ (x)(x - a)=0, т.е. f (x) = f (a).

Следствие 2. Если f непрерывна на [ a,b ], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x) =g¢ (x) на (a,b), то f (x) =g (x) + const.

Теорема. Если f, g непрерывны на [ a,b ], дифференцируемы на (a,b), то существует xÎ(a,b) такая, что

.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F (x) = g (x)(f (b) - f (a)) - f (x)(g (b) - g (a)).

Для этой функции будет выполнено

F (a) = g (a)(f (b) - f (a)) - f (a)(g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),

F (b) = g (b)(f (b) - f (a)) - f (b)(g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) +g (a) f (b), таким образом, F (a) =F (b)

и к этой функции применима теорема Ролля: существует точка xÎ(a,b) для которой выполняется равенство

0 =F (b) -F (a) =F¢ (x)(b-a) = [ g¢ (x)(f (b) -f (a)) -f¢ (x)(g (b) -g (a))](b-a).

Следствие. Если g¢ (x)¹0 на (a,b), то.

Доказательство. Если g¢ (x)¹0, то g (b) -g (a) ¹0. Иначе, в случае g (b) =g (a), по теореме Ролля нашлась бы точка x, где g¢ (x)=0.

4.4 Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0

Дано: f (x), g (x) определены на (x ₀, b) и

1)

2) f, g дифференцируемы на (x ₀, b).

3) g¢ (x)¹0 на (x ₀, b).

Тогда, если существует конечный или бесконечный предел.

Доказательство. Доопределим функции f и g в точке x ₀ по непрерывности нулем: f (x ₀) =g (x ₀)=0. По теореме Коши, примененной к отрезку [ x ₀, x ], будет существовать x(x): x ₀ < x(x) < x и, из условия x ₀ < x(x) <x следует, что, причем x(x)¹ x ₀, если x ¹ x ₀. Тогда. Последнее равенство справедливо по теореме о существовании предела суперпозиции, ч.т.д.

Замечание. Аналогично, это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x® x ₀.

Следствие 1. Если

1) Существуют f ^(k) ,g ^(k), k= 1,2, …,n на (x ₀ ,b).

2), k= 0,1 ,…,n -1.

3) Существуeт g ⁽ⁿ⁾(x)¹0 на (x ₀ ,b), то

еслисуществует, конечный или бесконечный.

Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,,то

если последний существует, конечный или бесконечный.

Доказательство. Сделаем замену

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® -¥.

4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида ¥/¥

f,g определены на (x ₀, b) и

1).

2) f, g дифференцируемы на (x ₀ ,b).

3) g¢ (x)¹0 на (x ₀, b).

Тогда, если последний существует конечный или бесконечный.

Без доказательства.

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® x ₀ - 0, x® x ₀, x® + ¥, x® -¥.

4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших

В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f (x) – бесконечно малая при x® x ₀ и в точке x ₀ обращаются в ноль все производные до (n -1) - го порядка включительно f (x ₀)=0, f¢ (x ₀)=0, …, и. В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n. При этом главная часть будет равна. Это утверждение следует из равенства, в котором в качестве функции g (x) берется (x-x ₀) ⁿ.

.

Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно больших функций.

Пример: Выделить главную часть функции

f (x) = 3sh x - 3sin x – x ³ при x® 0.

f ¢(x) = = 0, f¢¢(x)= = 0,

f¢¢¢(x)= = 0, f ⁽⁴⁾(x) = = 0,

f ⁽⁵⁾(x) = = 0, f ⁽⁶⁾(x) = = 0,

f ⁽⁷⁾(x) = = 6¹0.

Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 и f (x) ~ x ⁷=, x® 0.

4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0¥, 1^¥ , 0⁰, ¥⁰, ¥ - ¥

Неопределенности вида 0¥ сводятся к уже рассмотренным ранее.

Примеры.

1).

2).

3).

4) ¥ - ¥

.

Можно, например, так

5) Неопределенности вида 1^¥, 0⁰, ¥⁰ сводятся к уже рассмотренным ранее логарифмированием

y=u^v=e^{v ln u}

Пример1..Вычисление.. Этот предел рассматриваем, как, где, а. Из теоремы о существовании предела суперпозиции двух функций следует, что. Далее, заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малую получим:

= =

=. Таким образом,.

Пример 2.. Представим функцию в следующем виде: и вычислим предел

4.5 Формула Тейлора

Формула Тейлора. Различные остатки в формуле Тейлора.

4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом R_n

Пусть у функции f существует f⁽ⁿ⁾ (x ₀) (это предпологает существование всех производных до (n -1) - го порядка в некоторой окрестности U= (x ₀ -a,x ₀ +a) точки x ₀₎. Многочленом Тейлора в точке x ₀ называется многочлен вида

Производные многочлена Тейлора будут равны:

(1)

Из (1) следует

= (2)

В частности, из дифференцируемости функции в точке получаем:

=. (3)

Далее, из (1) получается замечательное свойство многочлена Тейлора: он имеет в точке такие же производные, что и сама функция до порядка включительно («нулевая производная» - это сама функция):

P_n (x ₀) =f (x ₀), (4)

В частности,, k= 0,1, …,n -1.

Обозначим R_n (x) =f (x) - P_n (x), тогда

(5)

Выражение (5) называется формулой Тейлора функции f в окрестности точки x ₀ с остаточным членом R_n. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок форме.

Пример. Для функции найти многочлен, имеющий такие же прозводные в точке, что и, до 5-го порядка включительно.

Дата добавления: 2014-01-05