Работа сил электрического поля. Потенциал

Вычислим работу, совершаемую силами поля неподвиж-

ного точечного заряда q над перемещающимся в этом поле

точечным зарядом 0 q (рис. 1.6). Работа на элементарном пути

dl равна

dA = F·dl·cos = F·dr,

0

1),

3

E r r R





 

1/r2

R r

3

2

0

2) 1,

3

E R r R

r





 

13

где dr = dl·cos – изменение радиуса – вектора движуще-

гося заряда.

Рис.1.6

Учитывая, что 2

0

0 4

1

r

F q q



 



, получим

dr

r

dA q q 



  2

0

0 4

1



.

Выражение для работы на пути 1 – 2 будет иметь вид

 



 











   

0 1 2

0

2

2

1 0

0

12

1 1

4 4

2

1

r r

q q

r

A dA q q dr

r

r  

. (1.14)

Таким образом, работа сил электростатического поля не

зависит от пути перемещения электрического заряда, а зависит

лишь от начального и конечного положения этого заряда

(1 r и 2 r). Следовательно, силы, действующие на заряд 0 q в

поле неподвижного заряда q, являются консервативными.

Полученный вывод справедлив для любого электростати-

ческого поля.

Работа консервативных сил по замкнутому пути

равна нулю, т.е.

A   Fdl cos  0.

2

r

2 r

1 r

q0

F



d r

dl



1



q

14

Учитывая, что F =qE, а Ecos = l E – проекция вектора E



на направление элементарного перемещения dl, получим

A  q Eldl  0. Так как q  0, то

  0 E dl l. (1.15)

Соотношение (4.15), называемое теоремой о циркуля-

ции вектора E



, выполняется для любого замкнутого контура,

и его следует рассматривать как критерий потенциальности

электрического поля: циркуляция вектора напряженности

электростатического поля вдоль любого замкнутого контура

равна нулю.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает

потенциальной энергией, за счет которой совершается работа

силами поля. Следовательно

12 p p1 p2 A  W W W. (1.16)

Из сравнения (1.16) и (1.14) следует, что потенциальная

энергия заряда 0 q в поле заряда q на расстоянии r от него

имеет вид

r

W q q p

0

0 4

1 

 



. (1.17)

Энергетической характеристикой поля является

потенциал  – это физическая величина, численно равная

потенциальной энергии единичного положительного заряда,

помещенного в данную точку поля

0 q

W   p. (1.18)

Подставляя в (1.18) значение потенциальной энергии

(1.17), получим выражение для потенциала поля точечного

заряда

15

r

  q

0 4

1



. (1.19)

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен

алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым

зарядом в отдельности:





n

i

i

1

 , (1.20)

или  

i

i

r

q

0 4

1



. (1.21)

Из соотношения (1.18) вытекает, что заряд 0 q, находя-

щийся в точке поля с потенциалом , обладает потенци-

альной энергией

  0 W q p. (1.22)

Следовательно, работа сил поля над зарядом 0 q может

быть выражена через разность потенциалов

() 12 1 2 0 1 2

A W W  q   p p. (1.23)

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом

силами поля, равна произведению величины заряда на

разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд 0 q из точки с потенциалом  удаляется на

бесконечность (где потенциал равен нулю), то работа сил поля

будет равна

   0 A q. (1.24)

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе,

которую совершают силы поля над единичным положитель-

ным зарядом при удалении его из данной точки поля в

бесконечность

0 q

A  . (1.25)

16

Дата добавления: 2014-01-05