Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Взаимосвязь вероятностей ошибок первого и второго рода


Статистическая гипотеза - это любое предположение, касающееся неизвестного закона распределения случайной величины или неизвестного значения параметра этого распределения, т.е. предположение о свойствах случайной величины.

Проверка статистических гипотез

Критерии проверки статистических гипотез

Проверка статистических гипотез

План лекции

Лекция № 5

Гипотезу, подлежащую проверке, принято называть основной или нулевой (гипотеза Но ). Гипотезу, противопоставляемую выдвинутой нулевой гипотезе, называют альтернативной или конкурирующей (гипотеза Н1).

Для проверки статистических гипотез применяется система правил (статистических критериев), которая позволяет путем анализа выборок из генеральной совокупности принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу

С помощью параметрических критериев проверяется гипотеза относительно значения Θ0 параметра θ данного распределения, например гипотезы типа Н0: Θ =: Θ0 или Θ ≥: Θ0

С помощью непараметрических критериев, так называемых критериев согласия, проверяют гипотезу Н0: о виде закона распределения.

Для формулировки критерия множество значений контролируемого параметра разделяется на критическую область - область отклонения гипотезы Н0: и дополнительную к ней область принятия гипотезы Н0:. Если выборочное значение контролируемого параметра попадает в критическую область, гипотезу Н0: отвергают, в противном случае ее принимают.

Из-за случайности выборочных значений контролируемого параметра такое принятие гипотезы не является доказательством ее истинности, равно как и отклонение гипотезы еще не означает, что она ложна. Здесь возможны четыре случая:

-гипотеза Н0:верна и принимается согласно критерию;

-гипотеза Н0: неверна и отвергается согласно критерию;

- гипотеза Н0:верна, но отвергается согласно критерию (ошибка первого род α);

-гипотеза Н0:неверна, но принимается согласно критерию (ошибка второго рода β).

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через α, поэтому ее называют α -ошибкой. Причем вероятность α является уровнем значимости критерия. При выборочном приемочном контроле ошибка первого рода приводит к браковке партии продукции с допустимым уровнем несоответствий (так называемый риск производителя или поставщика), а при контроле производственного процесса - к необоснованному вмешательству в налаженный процесс производства (ложная тревога, излишнее управление).



Вероятность появления ошибки второго рода принято обозначать через β, это так называемая β-ошибка. При выборочном приемочном контроле ошибка второго рода приводит к принятию партии продукции с недопустимым уровнем несоответствий (риск потребителя или заказчика), а при контроле производства - к невмешательству в разлаженный производственный процесс (пропуск разладки, незамеченная разладка).

 

Вопрос о взаимосвязи вероятностей ошибок первого и второго рода и о том, влиянию каких параметров подвержены эти вероятности, рассмотрим на следующем простом примере.

Пусть при налаженном процессе значения контролируемого параметра подчиняются нормальному закону распределения с математическим ожиданием moи дисперсией σo2, а в разлаженном режиме - нормальному закону с параметрами m1 и σ12, т.е. дисперсия в обоих режимах одинакова. Нулевой гипотезе Н0соответствует µ = µo? а единственно возможной альтернативной гипотезе Н1 соответствует µ = µ1

Для проверки, в каком состоянии находится процесс, берется безвозвратная выборка объемом п из потенциально бесконечной генеральной совокупности и рассчитывается выборочное среднее , которое является несмещенной оценкой параметра mo Плотности распределения , при верности гипотез Ho и H1 приведены на рис.

 

Рисунок – 1 Плотность нормального распределения выборочного среднего арифметического при верности гипотезы Но (кривая 1) и верности гипотезы Н1 (кривая 2)

 

На этом рисунке точка µкр на оси абсцисс разделяет область значений контролируемой величины µо < µкр < µ1 на критическую область Ho[µкр? ∞]- область отклонения гипотезы и дополнительную к ней область принятия гипотезы Ho[-∞µкр].

Из рисунка следует, что попадание в критическую область оказывается возможным и при верности гипотезы Но.. При этом гипотеза Но. ошибочно отвергается, т.е. происходит ошибка первого рода. Но также возможно попаданиев область принятия гипотезы Но, когда эта гипотеза неверна. В этом случае ошибочно принимается гипотеза Но, и совершается ошибка второго рода.

Вероятность ошибки первого рода, т.е. вероятность попадания в интервал [µкр ,∞] при верности гипотезы Ho определяется соотношением)

)

а вероятность ошибки второго рода, т.е. вероятность попадания в интервал [ -∞, µкр], при верности гипотезы H1 определяется

соотношением

| )

Учитывая, что µкр - µ1 <0 получаем

)

Из приведенных соотношений следует, что:

- увеличение объема выборки п ведет к уменьшению дисперсии выборочной среднейи тем самым к одновременному уменьшению вероятности ошибок обоих видов;

- сумма (α+β) не равна единице. Вероятность ошибок обоих решений -принятия или отклонения гипотезы Ho -относится к различным плотностям распределения (кривые 1 и 2 на рис. 5/1);

- увеличение µкр ведет к уменьшению α, но к одновременному увеличению β, а уменьшение µкрприводит к увеличению α, и уменьшению. βПодчеркнем, что одновременное уменьшение значений α и β возможно только за счет увеличения объема выборки;

- задавая значение α, т.е. уровень значимости критерия, тем самым определяем область отклонения гипотезы Ho. Наиболее распространенными значениями α являются 0,1; 0,05;0,01; 0,001;

- вероятность ошибки первого рода α относится к критерию проверки гипотез в целом, а не к отдельному результату проверки. Отсюда следует, что если проверка проводится многократно, то, примерно, в α «100% случаях гипотеза Ho может быть отклонена даже, если она в действительности верна.



При определении области отклонения гипотезы необходимо, во-первых, учитывать, что максимальная вероятность ошибки первого Рода должна быть не больше, чем заданный уровень значимости критерия, а во-вторых, вероятность ошибки второго рода должна быть как можно меньше. Вероятность ошибок обоих видов можно определить, используя оперативную характеристику критерия, которая представляет собой зависимость вероятности принятия гипотезы Р(Но)от неизвестного значения контролируемого параметра θ, т.е. Р(θ), и задается уравнением, таблицей или графиком (рис. 2).

 

Рисунок 2 Оперативная характеристика

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Трубопровідний транспорт | Алгоритм проверки статистических гипотез

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 4357; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.028 сек.