Лекция 5. Уравнения магнитной газодинамики

Уравнения магнитной газодинамики.

Частично ионизованный газ, как сплошная среда. Система уравнений магнитной гидродинамики. Уравнения Максвелла. Уравнения газодинамики с учетом магнитогидродинамического взаимодействия. Критерии подобия в магнитной газовой динамики.

Частично ионизованный газ, как сплошная среда.

При температуре выше 6000 К большинство газов частично ионизованы. В этом случае среду надо рассматривать как смесь газов, состоящую из нейтральных частиц, ионов и электронов. На такую среду кроме обычных сил действуют силы обусловленные наличием электрических и магнитных полей.

Взаимодействие между заряженными частицами осуществляется посредством электромагнитного поля, которое они создают вокруг себя. Электромагнитное поле в каждой точке пространства и в каждый момент времени характеризуется двумя векторами.

Сила, с которой электромагнитное поле действует на частицу с зарядом e.

(5.1)

Уравнение (5.1) используется при экспериментальном определении.

Рассмотрим движение смеси состоящей из ионов, электронов и нейтральных частиц. Движение этой смеси будем рассматривать как движение сплошной среды.

Плотность и средняя скорость смеси:

, (5.2)

где - масса электрона, иона, нейтральной частицы;

- число соответствующих частиц в единице объема;

- средние скорости соответствующих частиц;

Плотность заряда (количество заряда в единице объема)

(5.3)

Плотность тока (количество заряда, переносимого частицами в единице объема)

. (5.4)

Если рассматривать бесконечно малый объем DV и предполагать, что в этом малом объеме и постоянны, то суммарная сила, которая действует на частицы, находящиеся в этом объеме, будет равна по (5.1)

, (5.5)

где Z_e – заряд иона.

Тогда сила, действующая на частицы, находящиеся в единице объема, определяется как:

. (5.6)

Внутри элементарного объема напряжение между двумя точками складывается из всех элементарных электрических полей, которые возникают на длине цепи (закон Кирхгоффа).

Система уравнений магнитной гидродинамики.

Уравнения Максвелла.

Уравнения Максвелла получены на основе обобщения экспериментальных данных. Они являются основными уравнениями электродинамики. Уравнений Максвелла четыре:

1. Закон индукции Фарадея.

2. Закон Ампера.,.

3. Закон сохранения электрического заряда.

4. Закон сохранения магнитного заряда, или закон непрерывности магнитного поля.

В уравнениях Максвелла,,

где – относительная электрическая проницаемость среды и – относительная магнитная проницаемость среды, а и электрическая и магнитная постоянные.

= 1.26·10^-6 = 1.26·10^-6,

= 8.85·10^-12 = 8.85·10^-12.

=, С – скорость света в вакууме, С = 299463·10⁶ м/с.

Обобщенный закон Ома.

Величина плотности тока в законе Ампера описывается законом Ома для электропроводной движущейся среды

. (5.7)

Здесь - плотность зарядов электронов, а - плотность заряда в газе.

В уравнении (6.24) в правой части записаны четыре составляющих тока:

– ток проводимости,

– ток индукции,

– ток Холла,

– ток конвекции.

В зависимости от условий задачи в уравнении (5.7) учитываются те или иные составляющие тока. В большинстве случаев магнитной газовой динамики ток конвекции мал по сравнению с током проводимости и им пренебрегают. Ток Холла учитывают, если параметр Холла. Ток индукции учитывают в движущейся среде.

Уравнения газодинамики с учетом магнитогидродинамического взаимодействия.

Для получения уравнений магнитной газовой динамики к уравнениям Максвелла и закону Ома, описывающим электродинамические свойства среды, следует добавить уравнения газовой динамики с учетом работы электрических сил и джоулева нагрева, уравнение состояния среды и уравнения транспортных коэффициентов.

Полная система уравнений магнитной газовой динамики может быть представлена следующем виде.

Уравнения Максвелла:

(5.8)

, (5.9)

(5.10)

(5.11)

Уравнения газовой динамики:

уравнение сохранения массы

, (5.12)

уравнение движения

, (5.13)

уравнение энергии

, (5.14)

,, – объемное тепловыделение.

Закон Ома

. (5.15)

Уравнение состояния

P = P(ρ,T). (5.16)

Уравнения транспортных коэффициентов

. (5.17)

Уравнение (5.10) можно не решать, если нас не интересует распределение заряда в объеме, или выполняется условие квазинейтральности среды. В большинстве случаев МГД течений уравнение (5.10) не решается.

Остается 25 уравнений относительно 25 переменных.

Критерии подобия в магнитной гидродинамике.

Дата добавления: 2014-01-05