Расчёт зубчатых передач по контактным напряжениям

На прошлой лекции говорилось о критериях работоспособности зубчатых передач. Отмечалось, что главным для работоспособности закрытых передач, работающих в присутствии смазки, являются контактные напряжения, вызывающие усталостное выкрашивание зубьев.

Передачи, работающие на открытом воздухе без смазки, более подвержены износу и потому чаще ломаются от изгибных циклических напряжений, возникающих в основании зуба. Здесь рассмотрим первый случай – расчёт зубчатых колёс по контактным напряжениям. Для этого расчёта главной является формула Герца – формула расчёта контактных напряжений. Запишем её снова.

Чтобы привести её к виду, удобному для использования, необходимо выразить все параметры, входящие в неё через силовые и геометрические соотношения зубчатой передачи. Для начала рассмотрим только цилиндрическую прямозубую передачу. Особенности расчёта других передач учтём позже.

На рисунке показано эвольвентное зацепление двух колёс. Контакт осуществляется в полюсе зацепления – точке O (или P). Усилие, которое передаётся от ведущей шестерни 1 к колесу 2 направлено по нормали к зубу и под углом α_W к горизонтали. Обозначим это усилие – Q₂. Усилие, действующее в горизонтальном направлении, по касательной к делительной окружности будет равно:

Примем, что коэффициент смещения колёс равен нулю, то есть делительные и начальные диаметры равны: d_w1 = d₁, d_w2 = d₂.

Это усилие выразим через момент на колесе:

Если объединим эти формулы, то получим нагрузку, выраженную через момент на колесе:

Здесь K – коэффициент нагрузки, физический смысл которого примерно такой же, как и у коэффициента запаса, принимаемого при расчёте конструкций на прочность в курсе Сопротивления материалов, однако рассчитывается он по другой методике. Объяснение этой методики будет дано в дальнейшем.

Далее рассмотрим соотношения между радиусами кривизны двух контактирующих поверхностей. В данном случае это два контактирующих зуба: зуб шестерни и зуб колеса. Это соотношение выражается через приведённый радиус, который в общем случае равен:

В этой формуле знак + относится к внешнему зацеплению зубьев, а знак – к внутреннему. Далее будем рассматривать только внешнее зацепление. Из рисунка следует, что отрезок AO = R₁, а отрезок OB = R₂. Тогда из соотношений в треугольниках можно определить, что

Подставляем эти выражения в формулу для приведённого радиуса и получаем:

Диаметры можно выразить через передаточное отношение, зная, что

и межосевое расстояние

Из второй формулы получаем, что

и диаметр шестерни:

Затем из той же формулы, можно получить диаметр колеса, если записать:

. Выражение для диаметра колеса будет:

После этого выражения для диаметров колёс и нагрузки подставляем в исходную формулу. После этой подстановки получаем:

В первый сомножитель под корнем забыли подставить ещё выражение для диаметра d₂. После подстановки получаем:

После трудоёмких, но элементарных по существу преобразований получаем формулу для расчёта контактных напряжений в эвольвентном зацеплении. При этом учитываем, что угол зацепления равен 20º. Кроме того, в формулу подставляем значение модуля упругости. Если бы колесо и шестерня были бы изготовлены из материалов с различным модулем упругости, то его приведённое значение рассчитывалось бы по формуле:

Однако же, как правило, зубчатые колёса и шестерни изготавливаются из углеродистых или низко- и среднелегированных сталей, модуль упругости которых, несмотря на различие марок примерно одинаков. Поэтому можно принять в этой формуле его значение равным E = 2.1∙10⁵ МПа. Окончательно получаем:

Коэффициент Z в этой формуле зависит от принятой размерности. Его значение может быть различно в зависимости от источника и вида приведённой формулы. Если принять соответствующие значения модуля упругости, напряжений и геометрических параметров, каждый может получить его самостоятельно. Важно только, чтобы все размерности были выдержаны правильно.

Дата добавления: 2014-01-05