Линейные операции над векторами. Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными

Основные понятия.

Векторы.

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Это площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т. д.

Другие величины – сила, скорость, ускорение определяются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными. Их изображают в виде геометрических объектов – векторов.

Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Если – начало вектора, – его конец, то такой вектор обозначается как, или. Вектор с началом в точке и концом в точке называется противоположным вектору и обозначается как, или.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается как. Считается, что он не имеет направления.

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором и обозначается как.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это обозначается как. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора считаются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно своему направлению. Поэтому в дальнейшем будем считать, что все векторы имеют начало в точке начала координат. Тогда для обозначения вектора достаточно указать координаты его конца – точки. На рис. 32 изображен вектор, на рис. 33 вектор.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Сложение векторов.

Пусть и два произвольных вектора. Переместим вектор таким образом, что бы его начало совпало с концом вектора, тогда вектор, начало которого совпадает с началом, конец – с концом вектора, называется суммой векторов и и обозначается как (рис. 34). Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Если у векторов и совместить начала и построить на их основе параллелограмм, то его диагональ, проходящая через это начало будет равна так же вектору (рис. 35). Это правило называется правилом параллелограмма. Разностью векторов и называется сумма векторов и (рис. 36). Таким образом, в параллелограмме, построенном на векторах и, одна диагональ будет равна сумме этих векторов, другая – их разностью (рис. 37). По свойству сторон и диагоналей параллелограмма справедлива формула

.

Произведением вектора на число называется вектор (или), который имеет длину, коллинеарен вектору и имеет то же направление, если и противоположное вектору, если. Таким образом, векторы и всегда коллинеарны.

Свойства линейных операций над векторами.

Для любых векторов и, чисел и справедливы следующие соотношения:

1);

2);

3);

4);

5).

Обозначим единичные векторы, направленные вдоль осей и соответственно через и. Тогда вектор может быть представлен в виде суммы векторов (рис. 38). Соответственно в пространстве верно равенство

.

Векторы называются ортами.

Длина вектора.

Пусть вектор в трехмерном пространстве имеет координаты. Тогда его длина равна длине отрезка, где точки и имеют координаты соответственно и и может быть вычислена по формуле

На плоскости вектор имеет длину.

Условие коллинеарности двух векторов.

Пусть ненулевые векторы и коллинеарны. Тогда, следовательно. Отсюда

т. е. координаты векторов пропорциональны. Это и есть условие коллинеарности векторов и.

Дата добавления: 2014-01-05