Смешанное произведение векторов

Векторное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

.

С другой стороны скалярное произведение можно представить как произведение длины одного вектора на длину проекции на него второго вектора, как указано, например, на (рис. 39).

.

Ненулевые векторы и назовем ортогональными, если угол между ними составляет. В этом случае и выполняется равенство, которое называют условием ортогональности векторов и.

Свойства скалярного произведения векторов.

1);

2)

3);

4).

В частности, для единичных векторов (орт) справедливы соотношения

.

Выразим значение скалярного произведения через координаты векторов.

Пусть в пространстве заданы векторы и. Тогда

, и по свойствам скалярного произведения

.

Таким образом,.

Исходя из этой формулы, можно записать значение косинуса угла между векторами и в пространстве

Аналогичная формула верна и для плоских векторов и

В пространстве рассматриваются векторные произведения векторов.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, который удовлетворяет следующим трем свойствам (рис. 40):

1) вектор перпендикулярен векторам и, т. е. и;

2) вектор имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах и, т. е.;

3) вектор направлен в ту сторону, из которой поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки.

Обозначается векторное произведение как.

Свойства векторного произведения.

1) Для любых векторов и справедливо равенство;

2) для любого числа справедливо;

3) ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

4).

В частности, для единичных векторов (орт) (рис. 41) справедливы соотношения

,,,

.

Выразим векторное произведение векторов и через их координаты. Пусть и. Тогда,

и по свойствам векторного произведения

+

Таким образом

Это есть символическая формула для вычисления координат векторного произведения через координаты исходных векторов.

Так как длина векторного произведения по определению есть площадь параллелограмма, построенного на исходных векторах, то эта площадь вычисляется по формуле

Площадь треугольника, построенного на векторах и равна

В пространстве так же можно рассматривать комбинированные векторные и скалярные произведения векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторов и, т. е..

Построим на векторах, и параллелепипед (рис. 42). Обозначим, тогда

.

Так как, где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и, а равна, где - высота параллелепипеда, то смешанное произведение равно, где – объем параллелепипеда. Таким образом, смешанное произведение векторов, и по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем пирамиды, построенных на этих векторах будет равен

.

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение векторов, и не меняется при их циклической перестановке, т. е.

2) смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного произведений, т. е.

;

3) смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух его векторов, т. е.

;

4) смешанное произведение ненулевых векторов, и равно нулю тогда и только тогда когда они компланарны.

Выразим значение смешанного произведения векторов, и через их координаты. Пусть,, Тогда,, и по свойствам векторного и скалярного произведений, имеем

.

Таким образом, справедливо соотношение

Дата добавления: 2014-01-05