Постулат Друкера

Основой для вывода разрешающих уравнений относительно приращений напряжений и деформаций и зависимости между ними является постулат Друкера, который формулируется следующим образом: в процессе нагружения добавочные напряжения совершают положительную работу; за весь цикл дополнительного нагружения и разгрузки добавочные напряжения совершают положительную работу, если имеет место пластическая деформация.

Рассмотрим формулировку постулата при одноосном растяжении. Диаграмма растяжения приведена на рис.5.3. Предположим, что материал, нагруженный до напряжения (точка В), разгружен затем до напряжения (точка С). Это состояние будем считать исходным для последующего нагружения до напряжения и разгрузки до напряжения . На описанном пути деформирования внутренние силы будут совершать работу как на упругих, так и на неупругих (пластических) деформациях. Но если суммарная работа внутренних сил на упругих деформацияч равна нулю (при разгрузке упругие деформации полностью исчезают и накопленная потенциальная энергия полностью высвобождается), то работа тех же сил на пластических деформациях оказывается невосполнимой. При этом работа дополнительных напряжений на пластических деформациях, затраченная на единицу объема, равна , а работа разности напряженийна тех же деформациях равна . Так как знаки напряжений и деформаций одинаковы, то указанные работы должны быть положительными, т.е.

и

(5.6)

Следовательно,

+

(5.7)

Из (5.6) следует, что

.

Последнее условие справедливо до тех пор, пока напряжения во всех точках сечения одинаковы. Однако, если в сечении возникает шейка, то напряженное состояние становится неоднородным, и данное условие нарушается. Поэтому данное условие можно рассматривать как критерий устойчивости деформирования за пределами упругости.

Для сложного напряженного состояния постулат Друкера записывается так:

+ .

(5.8)

Величины, входящие в формулу (5.8), проиллюстрированы на рис.5.4.

Предполагается, что материал нагружен по пути ОВ до точки В, лежащей на поверхности пластичности. Этой точке соответствует тензор напряжения Затем произведена разгрузка до точки С, лежащей внутри поверхности пластичности. Этой точке соответствует напряженное состояние . При переходе от точки В к точке С имеют место только упругие информации. Если теперь нагрузить материал до точки В по некоторому пути, затем догрузить до точки , которой соответствует изменение тензора напряжений на и изменение упругих и пластических деформаций на и , соответственно, а затем разгрузить по какому-либо иному пути до точки С, то, согласно постулату Друкера, работа добавочных напряжений на вызванных ими приращениях деформаций за цикл нагружения и разгрузки будет положительной, т.е. будет соблюдаться соотношение (5.8).

Если принять =, то из выражения (5.8) получаем:

.

(5.9)

Если , то величину можно сделать большей, чем . Из соотношения (5.8) в этом случае получаем:

.

(5.10)

Из формулы (5.10) следует, что

.

(5.11)

Дата добавления: 2014-01-05