Пример 4

Пример 3

Пример 2

Пример 1

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Тема: Интегрирование рациональных функций

Лекция №7

Определение. Рациональной функцией переменной называется отношение двух многочленов этой переменной: где и – многочлены переменной.

Для интегрирования рациональной функции, где P (x) и Q (x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P (x) больше степени Q (x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P (x) больше степени знаменателя Q (x)), разделим многочлен P (x) на Q (x). Получим следующее выражение:

где - правильная рациональная дробь.

Запишем многочлен знаменателя Q (x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,... должно быть равно степени знаменателя Q (x).

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q (x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,.... Данная система всегда имеет единственное решение.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

1.

2.

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где

Затем применяются следующие формулы:

3.

4.

5.

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6.

Вычислить интеграл.

Решение.

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

Следовательно,

Тогда

Теперь легко вычислить исходный интеграл

Вычислить интеграл.

Решение.

Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.

Получаем

Вычислить интеграл.

Решение.

Вычислить интеграл.

Решение.

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов:

Следовательно,

Получаем

Интеграл, соответственно, равен

Дата добавления: 2014-01-05