Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема: Интегрирование рациональные функции двух переменных




Лекция №8

Пример 10

Пример 9

Пример 8

Пример 7

Пример 6

Пример 5

Найти интеграл.


Решение.

Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей.

 

Найдем неизвестные коэффициенты.

 

Отсюда получаем

 

Подынтегральное выражение представляется в виде

 

Исходный интеграл равен

 

Найти интеграл.


Решение.

Разложим знаменатель в подынтегральном выражении на множители:

 

Далее представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей

 

Определим коэффициенты:

 

Следовательно,

 

Отсюда находим

 

Теперь вычислим исходный интеграл

 

Вычислить интеграл.


Решение.

Перепишем знаменатель рациональной дроби в следующем виде:

 

Поскольку полученные множители являются несократимыми квадратичными функциями, то подынтегральное выражение представляется в виде

 

Определим неизвестные коэффициенты.

 

Получаем

 

Следовательно,

 

Интегрируем каждое слагаемое и находим ответ.

 

Вычислить интеграл.


Решение.

Разложим знаменатель на множители:

 

Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей.

 

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями чтобы определить неизвестные коэффициенты из системы линейных уравнений.

 

Следовательно,

 

Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде

 

Окончательно находим

 

Вычислить интеграл.


Решение.

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, учитывая что знаменатель имеет кратный корень 3-го порядка:

 

Определим неизвестные коэффициенты.

 

Получаем систему уравнений

 

Следовательно,

 

Исходный интеграл равен

 

Вычислить интеграл.


Решение.

Поскольку - несократимый квадратный трехчлен, выделим в знаменателе полный квадрат:

 

Найдем полученный интеграл с помощью формулы редукции

 

Получаем ответ:

 

Определение. Одночленом двух переменных и называется произведение, где.

Определение. Многочленом двух переменных и называется линейная комбинация одночленов двух переменных с числами (коэффициентами).

Пример.

Многочлен двух переменных есть цело-рациональная функция двух переменных.

Определение. Рациональной функцией двух переменных и называется отношение двух многочленов тех же переменных:

 

где и – многочлены двух переменных.

Пример.

Теорема. Если – рациональная функция переменных и, а

и – рациональные функции одной переменной:,, то сложная функция есть рациональная функция одной переменной.

Доказательство. и – отношения многочленов одной переменной. После подстановки и в многочлены двух переменных и получим рациональные функции одной переменной

и.

Следовательно, – рациональная функция одной переменной.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 338; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.