Тема: Интегрирование рациональные функции двух переменных

Лекция №8

Пример 10

Пример 9

Пример 8

Пример 7

Пример 6

Пример 5

Найти интеграл.

Решение.

Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей.

Найдем неизвестные коэффициенты.

Отсюда получаем

Подынтегральное выражение представляется в виде

Исходный интеграл равен

Найти интеграл.

Решение.

Разложим знаменатель в подынтегральном выражении на множители:

Далее представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей

Определим коэффициенты:

Следовательно,

Отсюда находим

Теперь вычислим исходный интеграл

Вычислить интеграл.

Решение.

Перепишем знаменатель рациональной дроби в следующем виде:

Поскольку полученные множители являются несократимыми квадратичными функциями, то подынтегральное выражение представляется в виде

Определим неизвестные коэффициенты.

Получаем

Следовательно,

Интегрируем каждое слагаемое и находим ответ.

Вычислить интеграл.

Решение.

Разложим знаменатель на множители:

Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями чтобы определить неизвестные коэффициенты из системы линейных уравнений.

Следовательно,

Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде

Окончательно находим

Вычислить интеграл.

Решение.

Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, учитывая что знаменатель имеет кратный корень 3-го порядка:

Определим неизвестные коэффициенты.

Получаем систему уравнений

Следовательно,

Исходный интеграл равен

Вычислить интеграл.

Решение.

Поскольку - несократимый квадратный трехчлен, выделим в знаменателе полный квадрат:

Найдем полученный интеграл с помощью формулы редукции

Получаем ответ:

Определение. Одночленом двух переменных и называется произведение, где.

Определение. Многочленом двух переменных и называется линейная комбинация одночленов двух переменных с числами (коэффициентами).

Пример.

Многочлен двух переменных есть цело-рациональная функция двух переменных.

Определение. Рациональной функцией двух переменных и называется отношение двух многочленов тех же переменных:

где и – многочлены двух переменных.

Пример.

Теорема. Если – рациональная функция переменных и, а

и – рациональные функции одной переменной:,, то сложная функция есть рациональная функция одной переменной.

Доказательство. и – отношения многочленов одной переменной. После подстановки и в многочлены двух переменных и получим рациональные функции одной переменной

и.

Следовательно, – рациональная функция одной переменной.

Дата добавления: 2014-01-05