Тема: Интегрирование дробно-рациональных выражений

Тема:Неопределенный интеграл вида

Теорема. Неопределенный интеграл вида с помощью подстановки, которая называется универсальной, сводится к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной.

Сделаем подстановку

,

Выразим через

Тогда где – рациональная функция от.

Пример. Вычислить

Сделаем подстановку

Несмотря на то, что универсальная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида, однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1) Если интеграл имеет вид то подстановка приводит этот интеграл к виду.

2) Если интеграл имеет вид то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой.

Пример. Вычислить

Сделаем замену, тогда:

3) Если подынтегральная функция зависит только от, то замена, приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции:

4) Если подынтегральная функция имеет вид то применяется та же подстановка, так как выражаются рационально через:

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.

Пример. Вычислить

Сделаем замену:

5) Рассмотрим интеграл вида где и – целые числа. Здесь придется рассмотреть три случая.

а) Если и таковы, что по крайней мере одно из них нечетное, допустим для определенности, что – нечетное.

Положим и преобразим интеграл:

Сделаем замену,, получим интеграл от рациональной функции от.

Пример. Вычислить

Обозначая,, получим:

б) Если и – числа неотрицательные и четные, то положив, и применяя формулы, известные из тригонометрии

получим:

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие в нечетных и четных степенях.

Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а) Четные показатели снова понижаем по формуле Продолжая так, дойдем до членов вида которые легко интегрируются.

Пример 1. Вычислить

в) Если показатели и – четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то следует сделать замену (случай 4)

6) Рассмотрим интеграл вида

Он берется при помощи следующих формул:

Пример2. Вычислить

Теорема. Любая рациональная функция с вещественными коэффициентами может быть представлена в виде суммы цело-рациональной функции, (то есть многочлена) и простейших дробно-рациональных функций 1-го и 2-го рода (то есть функций вида, где и – вещественные числа, – натуральное число и,,, – вещественные числа, – натуральное число, причем).

Согласно этой теореме и свойству линейности неопределенного интеграла, вычисление неопределенного интеграла от рациональной функции с вещественными коэффициентами сводится к вычислению неопределенных интегралов от цело-рациональной функции и от простейших дробно-рациональных функций 1-го рода и 2-го рода.

а) Рассмотрим неопределенный интеграл от цело-рациональной функции

Согласно свойству линейности неопределенного интеграла имеем:

Таким образом, неопределенный интеграл от цело-рациональной функции (многочлена степени) есть цело-рациональная функция (многочлен степени).

б) Рассмотрим неопределенный интеграл от простейшей дробно-рациональной функции 1-го рода – натуральное число.

Пусть

Пусть.

в) Рассмотрим неопределенный интеграл от простейшей дробно-рациональной функции 2-го рода: – натуральное, Пусть.

Обозначим: и

Тогда

Рассмотрим

Так как по условию то при.

Поэтому,

Рассмотрим.

Сделаем замену переменной: тогда и

где.

То есть

Итак,

Пусть.

Обозначим и

Тогда

Рассмотрим.

Сделаем замену переменной. Тогда.

Получаем

Итак,

Рассмотрим.

Сделав замену переменной и обозначив, получим

Выведем рекуррентную формулу, которая выражает через

Имеем:

Итак, (*)

Рассмотрим

Этот интеграл вычислим методом интегрирования по частям.

Положим,

Тогда,

Значит, то есть.

Возвращаясь к равенству (*), получим:

то есть.

Эта рекуррентная формула позволяет свести вычисление неопределенного интеграла к вычислению неопределенного интеграла, который в свою очередь сводится к вычислению интеграла, и так далее до вычисления неопределенного интеграла.

Итак, при где вычисляется по рекуррентной формуле. После вычисления нужно вернуться к переменной, заменив

Пример. Вычислить.

Это неопределенный интеграл от простейшей дробно-рациональной функции 2-го рода, так как

(**)

Рассмотрим где.

Применим рекуррентную формулу, при:

Для вычисления снова применим рекуррентную формулу, при:

Подставив в предыдущее равенство, получим:

или

где

Таким образом,

Переходя к переменной, получим:

Дата добавления: 2014-01-05