Лекция №9. Тема: Интегрирование простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение

Тема: Интегрирование простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.

К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:

- вещественные постоянные

2. - вещественные постоянные,

3.

4.

Интегрирование 1 ^го типа:

Интегрирование 2 ^го типа:

Интегрирование 3 ^го типа:

проводится в два этапа:

1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:

2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.

Интегрирование 4 ^го типа:

1. Выделяем в числителе *** знаменателя:

Выделяем в знаменателе 2 ^го интеграла формулы квадрата:

Рекуррентная формула для вычисления J_m (вычисление происходит путем подстановки в известную форму)

Тема: Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A₁ … n

Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. B₁ C₁…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Тема Интегрирование некоторых иррациональных выражений

1) Неопределенный интеграл вида

Подынтегральная функция – рациональная функция двух переменных, где, – иррациональная функция одной переменной,

Теорема. Неопределенный интеграл всегда может быть сведен к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной.

Сделаем замену переменной:, то есть Отсюда находим: – рациональная функция переменной.

Найдем:.

Функция – рациональная функция переменной (предполагается, что),

Таким образом,

.

Подынтегральная функция есть произведение двух рациональных функций одной переменной и является рациональной функцией.

Итак,.

2) Неопределенный интеграл вида

Подынтегральная функция – рациональная функция двух переменных, где, – иррациональная функция одной переменной.

Теорема. Неопределенный интеграл всегда может быть сведен к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной.

Если трехчлен имеет действительные корни

то и

и интеграл сводится к случаю 1.

Поэтому будем считать, что не имеет действительных корней и. Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера: (эту подстановку можно применять и в случае действительных корней при на интервале, где). Отсюда, то есть – рациональная функция от. Но тогда – также рациональная функция от. Поэтому

Замечание. Если а (), то можно сделать замену

Пример. Вычислить

Бином не имеет действительных корней. Поэтому полагаем и

Отсюда

В силу этого

Дата добавления: 2014-01-05