Решение. Измеримые множества. Мера Лебега

Пример 1.

Определение.

Определение.

Измеримые множества. Мера Лебега.

Внешняя мера множества.

Параллелепипеды и их объемы.

Интеграл Лебега.

РЕМОНТА АВТОМОБИЛЕЙ

Программа предназначена для быстрого определения стоимости работ на станциях технического обслуживания автомобилей.

Более 1 250 000 норм времени входят в поставку системы, а также имеется возможность создания собственной базы с использованием нормативов сходной модели. На отечественные автомобили также представлена информация на кузовные, антикоррозийные и окрасочные операции, технология ремонта.

Работа происходит с нормами времени и стоимостью нормо-часа. Поиск осуществляется по логотипу соответствующей марки, после чего программа подключает соответствующую базу с нормативами. В систему встроена функция печати отчета по выбранным работам и их стоимости.

Пусть – евклидово пространство. Пусть – две точки из такие, что при. Множество всех точек таких, что при любом, называется открытым n-мерным параллелепипедом. Множество всех точек таких, что называется замкнутым параллелепипедом.

n-мерным параллелепипедом с вершинами в точках и называется любое множество, удовлетворяющее включениям

.

n -мерным объемом параллелепипеда с вершинами в точках называется число

Если хотя бы одна координата точки равна соответствующей координате точки, то называется вырожденным, в противном случае – невырожденным. Если вырожденный параллелепипед, то, в противном случае.

Пусть. Внешней n-мерной мерой (или просто внешней мерой) множества называется нижняя грань сумм n-мерных объемов открытых параллелепипедов, объединения которых покрывают (нижняя грань берется по всем таким покрытиям):

.

Внешняя мера параллелепипеда равна его n-мерному объему.

Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Если два множества эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Множество называется измеримым (по Лебегу), если существует открытое множество, содержащее, для которого. При этом внешняя мера множества называется его мерой (Лебега) и обозначается, то есть.

Доказать, что множество Q всех рациональных чисел произвольного отрезка измеримо, причем Q = 0.

Множество Q счетно, поэтому его точки можно занумеровать с помощью натуральных чисел. Зададим произвольное и заключим первую точку множества Q в интервал длины вторую – в интервал длины, …, n -ю – в интервал длины и так далее. Объединение этих интервалов является открытым множеством G, мера которого

B силу того, что произвольно мало, отсюда следует, что =0. Так как G \ Q G, то (G\Q) G =. Это означает, по определению, что Q измеримо, причем G = G

Дата добавления: 2014-01-05