П 3. График функции

Очевидно, что график функции одной переменной гораздо проще, чем график функции двух переменных.

Пусть задана функция .

Возьмем какую-то точку из области , в системе координат ей соответствует точка, где - аппликата точки.

Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию .

НАПРИМЕР: 1) Так, например, графиком функции
является верхняя половина сферы на рисунке ниже, а графиком функции- нижняя половина сферы.

функция имеет область определения круг радиуса 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке и радиусом .

2) Возьмем функцию или - графиком функции является параболоид.

Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей. В связи с этим оказывается удобным геометрически описывать функции 2 переменных, не выходя в трехмерное пространство. Средством такого описания являются линии уровня.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Линией уровня функции 2 переменных называется множество точек на плоскости таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно константе .

Числов этом случае называют уровнем.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Линией уровня обозначают глубину морей и высоту гор на географических картах. Аналогичные линии описывают распределение тех или иных веществ в почве, распределение среднесуточной температуры.

ПРИМЕР: Построить линии уровня функции .

Очевидно, что это поверхность, пересечем ее плоскостью ().

Задавая различные , получаем семейство линий уровня, представляющих собой окружности, разного радиуса. При окружность вырождается в точку. Из того, что линиями уровня оказались окружности с центром в начале координат, следует, что графиком функции должна быть поверхность вращения вокруг. Из аналитической геометрии известно, что это параболоид вращения.

Дата добавления: 2014-01-05