П5. Геометрический смысл предела функции двух переменных

Каково бы ни было число , найдется -окрестность точки , что во всех точках , аппликата соответствующих точек поверхности отличается о числа по модулю меньше чем на .

Просто: если точки на плоскости, с координатами принимают все более близкие значения к , или говорят стягиваются к , то соответствующие значения от этих начинают стягиваться (или принимать все более близкие значения) к, т.е. .

ПРИМЕРЫ:

1) Найти предел:

РЕШЕНИЕ: Будем приближаться к точке по прямой , где - некоторое число.

Таким образом, получили, что функция в точке предела не имеет, т.к. при разных значениях предел функции не одинаков. (функция имеет различные предельные значения)

Предел функции не должен зависеть от способа приближения к точке , например по прямой или .

2) Найти предел:

РЕШЕНИЕ:

Обозначим при равносильно, что .

Запишем предел в виде

3) Найти предел:

РЕШЕНИЕ:

1) По любой прямой предел один и тот же:

2) С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует.

Вычисление предела функции двух переменных труднее, чем для функции одной переменной. Это в первую очередь связано с тем, что на прямой два способа стремления к какому-то значению, а на плоскости бесконечно много, и по разным направлениям пределы могут не совпадать.

Дата добавления: 2014-01-05