Поняття обчислювального експерименту

Вступ

Однією з характерних особливостей нашого часу є впровадження комп’ютерів в усі сфери людської діяльності. Вони використовуються для наукових і інженерних розрахунків, а також для зберігання і обробки інформації. Слід зауважити, що застосування комп’ютерів для математичних розрахунків розповсюдилося не тільки на точні, технічні і економічні науки, але й на такі традиційно нематематичні спеціальності, як медицина, лінгвістика, психологія та ін. Зараз виникла численна категорія фахівців – користувачів комп’ютерів, які використовують їх як обчислювальний інструмент, а це неможливо без знання чисельних методів математики.

Чисельні методи розробляються і досліджуються висококваліфікованими фахівцями-математиками. Щодо величезної кількості фахівців нематематичних спеціальностей і інженерно-технічних робітників, то для них головним є розуміння основних ідей, методів, особливостей й областей застосування чисельних методів.

Мета нашого курсу – отримати в стислому вигляді основні необхідні відомості про чисельні методи різних прикладних задач. Основні відомості з курсу математичного аналізу, лінійної алгебри та інших математичних дисциплін будуть нагадуватися по мірі необхідності.

Обчислювальний експеримент – це технологія розв’язування і дослідження практичних задач, заснована на побудові й аналізі за допомогою комп’ютеру математичних моделей (ММ) досліджуваних явищ й об'єктів.

При розв’язуванні задачі на комп’ютері основна роль належить людині. Машина лише виконує його завдання за розробленою програмою. Співвідношення людини і машини легко з’ясувати, якщо процес розв’язування задачі розбити на наступні етапи:

1. Постановка задачі. Цей етап полягає у змістовному (фізичному) формулюванні задачі і визначенні кінцевої мети її розв’язання.

2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у математичному формулюванні задачі. Математична модель повинна адекватно (правильно) описувати основні закони фізичного явища, що розглядається. Разом з цим вона повинна мати порівняну простоту і доступність дослідження. При побудові математичної моделі отримують деякі математичні співвідношення, як правило, у вигляді рівнянь. Типові математичні моделі фізичних процесів являють собою системи диференціальних й алгебраїчних рівнянь, як правило, нелінійних. Одержати їхні рішення в аналітичному виді вдається вкрай рідко (у найкращому разі вдається довести лише існування рішення). Для одержання кількісних характеристик процесів виникає необхідність залучення комп’ютеру й, як наслідок, – побудови дискретної моделі процесу. Спосіб формування останньої визначається обраним чисельним методом.

3. Вибір (побудова) чисельного методу рішення рівнянь математичної моделі, тобто формування дискретної математичної моделі. У загальному випадку, дискретна модель – це система алгебраїчних рівнянь, що апроксимують вихідні диференціальні рівняння й алгоритм розв’язування цих рівнянь. Перехід до дискретної моделі пов’язаний із заміною неперервних незалежних змінних їх дискретними аналогами, відповідно, опис досліджуваних явищ і процесів може бути отриманий лише у формі дискретних функцій. Оскільки комп’ютер може виконувати лише найпростіші операції, він „не розуміє” постановки задачі навіть в математичному формулюванні. Для розв’язування задачі має бути знайдений чисельний метод, який дозволяє звести задачу до деякого обчислювального алгоритму.

4. Розробка алгоритму. Процес розв’язування задачі (обчислювальний процес) записується у вигляді послідовності елементарних арифметичних і логічних операцій, яка приводить до кінцевого результату. Ця послідовність називається алгоритмом розв’язування задачі. Алгоритм можна наочно подати у вигляді блок-схеми. Але можна не удаватися до наочного зображення алгоритму, а одразу переходити до наступного етапу.

5. Програмування. Алгоритм розв’язування задачі записується на мові, яку розуміє машина, у вигляді точно визначеної послідовності операцій – програми для комп’ютера. Складання програми здійснюється за допомогою деякої проміжної (алгоритмічної) мови, а її трансляція (переклад на машинну мову) здійснюється самою обчислювальною системою.

6. Тестування й налагодження програми. Складена програма містить різні помилки, неточності, описки. Налагодження програми містить контроль програми, діагностику помилок, їх виправлення. Програма випробується на розв’язуванні контрольних (тестових) задач, розв’язки яких відомі, для того, щоб бути впевненими в достовірності результатів.

7. Проведення розрахунків. На цьому етапі готуються вихідні дані і проводяться розрахунки за налагодженою програмою. При цьому для зменшення ручної праці по обробці результатів бажано використовувати зручні форми видачі результатів, особливо їх графічне представлення (візуалізацію).

8. Аналіз результатів й, можливо, корекція моделі. На цьому завершальному етапі результати розрахунків аналізуються з погляду відповідності досліджуваному процесу. При необхідності проводиться корекція моделі.

Таким чином, обчислювальний експеримент містить три основних елементи: модель — дискретна модель — програма.

Ми розглядатиме коло питань, пов’язаних лише з етапом побудови дискретної моделі, тобто будуть розглянуті методи перетворення задачі, сформульованої в термінах неперервних змінних, у задачу, розв’язками якої є дискретні функції. Ясно, що такий перехід не може не супроводжуватися внесенням певних похибок в одержувані розв’язку. Розглянемо джерела цих похибок.

Дата добавления: 2014-01-05