Похибки обчислювального експерименту

1) Похибки математичної моделі.

Математична модель лише наближено відображає реальні фізичні явища. Вже на етапі формулювання неперервної математичної моделі приймаються певні припущення, задаються значення параметрів процесу, констант моделі й т.ін.

2) Похибки вихідних даних

Вихідні дані часто є основним джерелом похибок. Вихідні дані, як правило, – це числа неточні (дані для обчислень дістають з експерименту, а кожний експеримент може дати результат лише з обмеженою точністю).

Похибки вихідних даних разом з похибками математичної моделі називають неусувними (незалежними від обчислювача) похибками обчислювального експерименту. Формулюючи математичну модель варто дати оцінку величини похибки вихідних даних – це необхідно для адекватної оцінки майбутніх результатів.

3) Похибка чисельного метода.

Побудова дискретної моделі досліджуваного процесу пов’язана із заміною неперервних математичних операторів (інтегрування, диференціювання) їх дискретними наближеннями. Наприклад, замість суми ряду беруть суму скінченого числа його членів, інтеграл замінюють скінченою сумою, нескінчений ітераційний процес обривають після скінченого числа ітерацій і т. ін.

Похибка, що виникає при заміні неперервного оператора його дискретним аналогом, називається похибкою дискретизації.

Похибка чисельного метода є регулюємо, тобто вона може бути зроблена як завгодно малою за допомогою вибору досить малих значень параметрів дискретизації (наприклад, шагу інтегрування, числа членів скінченої суми й т. ін.).

Ще одним джерелом похибок чисельного результату є власне обчислювальний інструмент, точніше, використовуваний у ньому спосіб подання дійсних чисел і скінченне число комірок пам'яті комп’ютера, що відводиться для подання кожного числа. Це приводить до того, що множина дійсних чисел, представлена в ЕОМ, дискретна, і машинне відбиття будь-якого дійсного числа завжди містить певну похибку — похибку округлення. У ході реалізації будь-якого алгоритму ці похибки деяким чином переробляються, чим, зокрема, і визначається похибка результату. Ясно, що ця похибка залежить як від похибки подання чисел в комп’ютері (похибка округлення), так і від властивостей алгоритму — саме від його чутливості до помилок округлення. Алгоритм називається стійким, якщо в ході його реалізації похибка результату залишається обмеженою.

3. Наближені числа

Числа можуть бути подані в пам'яті комп’ютера різними способами. Сучасні комп’ютери (процесори), як правило, дозволяють обробляти цілі числа, а також дробові числа у формі з плаваючою крапкою.

Як відомо, множина цілих чисел нескінченна. Але процесор через обмеженість його розрядної сітки може оперувати лише з деякою скінченою множиною цієї множини. В сучасних комп’ютерах для збереження цілого числа звичайно відводиться 4 байти пам'яті, що дозволяє зображати цілі числа, які знаходяться приблизно в діапазоні від до .

При розв’язуванні науково-технічних задач в основному використовуються дійсні числа. В комп’ютерах вони зображаються у формі з плаваючою крапкою.

Розглянемо природу помилки округлення при поданні дійсних чисел у формі із плаваючою крапкою. Будь-яке дійсне число в цій формі має вигляд:

де – мантиса числа, – його порядок.

Якщо мантису числа подано у вигляді:

,

то при отримаємо нормалізовану форму з плаваючою крапкою:

.

Наприклад, число –273.9 можна записати у вигляді: , , . Останній запис є нормалізованою формою числа з плаваючою крапкою. Звичайний запис –273.9 називається формою запису з фіксованою крапкою. Зараз таке представлення використовується в комп’ютерах, як правило, тільки на етапі вводу і виводу чисел.

Все сказане вище розповсюджується на числа, записані в системах числення, відмінних від десяткової. Будь-яке число дійсне число в системі числення з основою можна записати у вигляді:

,

де – цілі числа, . З цього запису випливає, що підмножина дійсних чисел, з якою оперує конкретний комп’ютер (множина машинних чисел), скінченна і визначається розрядністю і межами порядку (). Можна показати, що ця підмножина містить

чисел.

Мінімальне по модулю машинне число визначиться виразом:

і називається машинним нулем.

Максимальне по модулю машинне число визначиться виразом:

і називається машинною нескінченністю.

Таким чином комп’ютер оперує з наближеними значеннями дійсних чисел. Мірою точності наближених чисел є похибка.

Дата добавления: 2014-01-05