Модель рівноваги ринку

Моделі аналітичної геометрії

Простір товарів. Вектор цін.

Під товаром розуміють деяку продукцію або послугу, яка надходить на ринок для продажу в певний час і в певному місці. Вважатимемо, що маємо п різних товарів. Обсяг і -того товару позначимо через x _i, і = 1, 2,..., п.

Тоді деякий набір цих товарів можна записати у вигляді вектора x = (x ₁, x ₂, …, x _n), тобто x є п -вимірним вектором. З економічних міркувань розглядатимемо тільки такі набори товарів, у яких компоненти x _i ≥ 0 для довільного і = 1, 2,..., п. Множину всіх наборів товарів називають простором товарів С. Ця множина є простором тому, що в ній можна додавати два довільних набори й множити будь-який набір товарів на довільне невід’ємне число.

Вважаємо, що кожен товар має певну ціну. Всі ціни строго додатні. Нехай ціна одиниці і -того товару становить р _і, і = 1, 2,..., п. Тоді вектор р = (р ₁, р ₂ ,..., р _п ) називають вектором цін. Для набору товарів x = (x ₁, x ₂, …, x _n) розглянемо вектор відповідних цін р = (р ₁, р ₂ ,..., р _п ). Скалярний добуток цих векторів

р ∙ х = р₁· х ₁ + р ₂ · х ₂ +... + р _п · х _п

є числом, яке визначає ціну набору товарів і позначається с(х).

Приклад. Витрати фірми на ресурси, які використовуються для виготовлення одиниці продукції, задано в таблиці:

Ресурси (x i)	Кількість	Ціна (р i)
Сировина першого виду (x 1)	200 кг	3 грн./кг.
Сировина другого виду (x 2)	500 м^2	5 грн./м^2
Витрати праці (x 3)	0,65 людино-год	10 грн./люд-год
Обладнання (x 4)	0,7 машино-год	15 грн./маш-год

Визначити ціну всіх ресурсів, що використовуються фірмою для виготовлення одиниці продукції.

Розв’язання. Введемо вектор витрат ресурсів на одиницю продукції x = (200; 500; 0,65; 0,7) та вектор цін одиниць відповідних ресурсів р = (3; 5; 10; 15). Вартість усіх ресурсів, що використовуються для виготовлення одиниці продукції, буде скалярним добутком цих векторів. Тому

с (х)= х · р = Σ x _i· р_і = х ₁· р ₁ + х ₂· р ₂ + х ₃· р ₃ + х ₄ · р ₄.

Отже,

х · р = 200 · 3 +500 · 5 + 0,65 · 10 + 0,7 · 15 = 3117 грн.

Приклад. Комерційний банк, що бере участь у будівництві багатоповерхових будинків на одному з масивів міста, одержав кредити від трьох комерційних банків. Кожен із них надав кредити в розмірі відповідно 200, 300, 400 тис. грн. під річну процентну ставку 40, 25 і 30 %. Визначити, яку суму треба заплатити за кредити наприкінці року.

Розв’язання. Розглянемо вектор кредитів x = (200; 300; 400) і вектор процентних ставок р = (1,40; 1,25; 1,30). Простим розрахунком керівник комерційного банку може визначити, скільки потрібно заплатити наприкінці року за кредити взяті у банків:

х · р = 200 · 1,4 + 300 · 1,25 + 400 · 1,3 = 1175 тис. грн.

Розглянемо просту математичну модель рівноваги ринку, в якій основними є співвідношення між двома величинами: ціною одиниці товару p та обсягом товару на ринку q.

В основу зазначеної математичної моделі покладено просту ідею: розглянути ціну одиниці товару p та обсяг товару q як упорядковану пару чисел (p, q) і поставити їй у відповідність на площині точку з координатами (p; q). Через p позначимо вісь абсцис, а через q – вісь ординат. Наприклад, пара (7; 2000) відповідає ситуації, коли 2000 одиниць товару можна продати за ціною 7 грн. за одиницю.

Візьмемо деякий товар. За даної ціни p за одиницю товару через s (p) позначимо число одиниць товару, які продавці на ринку пропонують для продажу. Функцію s = s(p) називають функцією пропозиції товару. Через q (p) позначимо число одиниць товару, які покупці бажають купити. Функцію q= q (p) називають функцією попиту на товар. З економічних міркувань функція пропозиції s= s(p) зростаюча, а функція попиту q= q (p) спадна.

Означення. Ціну, за якої попит на певний товар дорівнює пропозиції цього товару на ринку, називають рівноважною ціною. Тобто за рівноважної ціни p* виконується рівність s (p*) = q(p*). Точку Е (p*; q*) називають точкою рівноваги. Рис. 1.

Рис. 1

Розглянемо задачу. Нехай задано лінійні функції

s(p) = bp – a і q(p) = c – dp,

де a, b, c, d – додатні числа; функція s = s(p) визначає пропозицію, а функція q = q (p) – попит на певний товар ринку. Потрібно знайти рівноважну ціну p*.

Якщо відсутні всілякі податки, то рівноважна ціна визначається як розв’язок рівняння s (p*) = q(p*) або системи лінійних рівнянь

.

Звідси bp* - a = c – dp* або p* (b + d) = a + c.

Отже,

(1)

Приклад. Нехай задано функцію попиту q = - 5 p + 40 і функцію пропозиції s= Знайти точку рівноваги.

Розв’язання. Координати точки рівноваги Е (p*; q*) задовольняють умову рівноваги s* = q*, тобто звідки p* = 4, а s* = q* = 40 – 5p*==20.

Отже, шукана точка рівноваги – це точка Е (4; 20). Рис. 2.

Рис. 2

Приклад. Припустимо, що уряд деякої країни встановив акцизний податок Т за одиницю товару, причому цей податок є фіксованим числом, а не процентом від продажної ціни. Скориставшись даними прикладу. (функція попиту q = 40 – 5p, функція пропозиції s = рівноважна ціна p* = 4 ). Визначити як зміняться при цьому рівноважна ціна та обсяг товару.

Розв’язання. Якщо уряд установить акцизний податок Т за одиницю товару, то функція пропозиції зміниться й задаватиметься співвідношенням

а функція попиту залишиться незмінною. Тоді нову точку рівноваги (p^Т; q^Т) можна визначити з умови рівноваги sТ = qТ, тобто 40 – 5pТ = 15/2 (р^Т – Т) -10.

Отже, нова рівноважна ціна p^Т = 4 + 3/5Т а відповідний обсяг товару sТ = qТ = 20 – 3 T. Дістали нову точку рівноваги .

Наприклад, якщо податок Т = 1 грн. за одиницю продукції, то рівноважна ціна збільшиться від 4 до 4,6 грн., а обсяг товару (пропозиція) зменшиться з 20 до 17, тобто обсяг одиниць товару для продажу зменшується на 3Т, а ціна збільшується на

Розглянемо загальнішу ситуацію, коли функції попиту q = c – dp і пропозиції s = bp – a лінійні (a,b,c,d – деякі додатні числа). Якщо встановлено податок Т за одиницю товару, то нова ціна буде р^Т – Т. Визначаємо нову точку рівноваги з умови s ^T = q ^T, де s ^T=b(р ^Т – Т) - a, а q^T =c – dp^T. Тоді bp^T - Tb – a = c – dp^T. Із цієї рівності знаходимо нову рівноважну ціну .

Враховуючи результат попереднього прикладу та формулу (1), матимемо

Отже, нова рівноважна ціна підвищується на

Оскільки b > 0 і d > 0, то і

Дата добавления: 2014-01-05