И комплексными числами

Изображение синусоидальных функций векторами

При расчете цепей переменного тока используются те же законы Ома и Кирхгофа, справедливые для мгновенных значений величин.

При расчете необходимо выполнять сложные тригонометрические операции.

Расчет упрощается, если токи и другие параметры представить вращающимися векторами.

В момент t=0 i=I_m sin y_i - перпендикуляр (вертикальная ось).

Пусть радиус-вектор длиной i=I_m вращается с постоянной угловой частотой против направления часовой стрелки - один оборот за период [рад/с].

В момент t₁ вектор повернется на угол w t₁ и длина перпендикуляра будет I_msin( w t₁ +y_i ).

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты при анализе электрических цепей синусоидального тока.

Вектор можно разложить на две составляющие и записать в виде комплексного числа.

На комплексной плоскости току соответствует комплексное число при t =0.

Действительная длина вектора в определенном масштабе равна амплитудному значению тока.

При t =0 проекция вектора на мнимую ось равна мгновенному значению тока: .

Таким образом, если радиус вектор вращать против часовой стрелки с угловой скоростью w, то в любой момент времени проекция этого вектора на мнимую ось будет равна мгновенному значению тока в рассматриваемый момент времени.

Существуют 3 формы записи комплексного числа:

Условились синусоидальные ток, ЭДС и напряжение обозначать для момента времени t =0, т.е. току соответствует вектор .

I_m - комплексная амплитуда тока. Разделив на получим комплексное действующее значение тока: .

Если даны два тока: и , то их сумма определяется по правилу сложения векторов или комплексных чисел:

Алгебраической сумме токов соответствует геометрическая сумма векторов, изображающих указанные функции.

Совокупность векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой.

Обычно на векторной диаграмме откладывают не амплитудные, а действующие значения величин.

Метод расчета, основанный на представлении функций комплексными числами, называется комплексным или символическим.

Дата добавления: 2014-01-05